Questions sur les représentations des groupes

Je peux dire des bêtises, n'hésitez pas à me corriger.

Un premier exemple frappant. Le calcul des modes de vibrations de la molécule C60 demandait au départ le calcul du spectre par ordinateur d'une matrice symétrique de taille $180\times 180$ ! En 1994, ce calcul a pu être fait à la main ! en utilisant des représentations de groupes finis !

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021869384712130?fbclid=IwAR0nxdx7zQ-yyVbgkVXa5R3ulrpP2iwL1U20cCWevzrhxxRG35otyVgiREo

Comme le dit Marsup, les représentations des groupes finis entrent dans le cadre plus large des représentations des groupes compacts, localement compacts, des algèbres de Lie, des algèbres associatives, etc. ...

Historiquement les applications ont été d'abord en physique (représentations des groupes et algèbres de Lie) et en théorie analytique des nombres (caractères de Dirichlet). Pour ma part je distingue à mon humble niveau au moins trois grandes classes d'applications :

1) En physique ; soit en mécanique classique (c'est de là que vient la théorie dite de Lie), ou en mécanique quantique (groupes de symétrie des équations et/ou groupes de symétrie des théories de jauges qui donnent lieu à la classification des particules élémentaires).

2) En théorie des formes automorphes (par exemple des formes modulaires). L'approche moderne de Langlands et al. permet de voir une forme automorphe comme un vecteur de représentation.

3) En géométrie arithmétique. On peut associer à certaines variétés "arithmétiques" des représentations de groupes de Galois, grâce aux théories cohomologiques développées par Grothendieck et ses élèves (et conjecturées auparavant par Weil).

Il y a certainement plein d'autres choses que je ne connais pas ou mal.

C'est malgré tout le thème 1 qui est techniquement le plus accessible, si l'on n'est pas fâché avec la physique. L'idée bête est que si l'équation différentielle qui décrit l'évolution d'un système physique possède un groupe de symétrie $G$, alors l'espace de toutes les solutions possibles est une représentations de $G$. Par exemple les représentations irréductibles du groupe orthogonal $O(3)$ permettent de définir des nombres quantiques de l'atome d'hydrogène.

Un exercice amusant consiste à considérer le problème à trois corps suivant. On considère trois masses ponctuelles identiques $m$ reliées deux à deux par des ressorts de même raideur $k$ et se déplaçant dans un plan fixe. On écrit l'équation de la dynamique du système en faisant une approximation linéaire. Alors le groupe $S_3$ agit sur l'espace des solutions. Celui-ci est de dimension finie (correspondant aux vitesses et positions initiales). La décomposition de cet espace en représentations irréductibles permet de simplifier la recherche des différentes modes de vibrations.

Gabriel Peyré nous fait lire la transformée de Fourier sur des groupes abéliens finis comme un roman et il n'oublie pas les applications : réciprocité quadratique, analyse et compression d'images, etc.

Pour les groupes non abéliens, il faut chercher un peu plus loin. D'après le théorème de Burnside, tout groupe fini dont l'ordre a au plus deux facteurs premiers ($p^\alpha q^\beta$) est résoluble. L'hypothèse est de nature « géométrique » (la géométrie avec des ensembles finis, ça revient à compter) et la conclusion, algébrique (structure). Étonnamment, la démonstration de Burnside utilise les représentations de façon cruciale – le point clé, si je me rappelle bien, c'est que les valeurs des caractères, en tant que sommes de racines de l'unité, sont des entiers algébriques.

On se doute alors bien que les représentations ont un rôle décisif dans le théorème de Feit-Thompson, qui affirme que tout groupe d'ordre impair est résoluble. Ce théorème est le premier résultat qui a fait croire que la classification des groupes finis simples était possible : prenez un groupe simple, il vous donne un élément d'ordre $2$ – c'est la version groupes de « donnez-moi un point d'appui et je soulève le monde ». Dans cette classification – dit-on – les représentations ont encore un rôle majeur. Ce n'est pas étonnant : un groupe c'est fait pour agir mais si l'action est linéaire, c'est quand même plus facile (par principe, tout ce qui est linéaire est plus facile, c'est pour ça qu'on linéarise, qu'on dérive, qu'on différencie, etc.).

Par exemple, avant de construire le Monstre, le plus gros des 26 groupes finis simples qui ne rentrent pas dans une famille infinie, les spécialistes avaient construits sa table de caractères. Ils ont alors cherché un groupe de matrices qui vivait en dimension $196\,883$...

Historiquement les groupes finis et leurs représentations ce sont les groupes de Galois des extensions algébriques de $\Q$ qui apparaissent tout le temps en arithmétique et en algèbre, les représentations ont un rôle important pour comprendre les anneaux d'entiers de ces "corps de nombres".

Concrètement le but c'est de comprendre les liens et les différences entre les anneaux $\Z,\Z[{i}],\Z[\zeta_8],\Z[\zeta_8,2^{1/4}]$.

(je ne parle pas seulement de Galois qui introduit la notion de groupe comme truc qui permute les racines de $x^3-2$ mais aussi de Artin et Brauer qui développent les représentations des groupes finis et l'induction de caractère pour décomposer $\zeta_K(s)=\prod_{\rho \ Irr} L(s,\rho)^{e_\rho}= \prod_j L(s,\psi_j)^{n_j}$)

Ce n'est pas par hostilité envers l'analyse et ses objets infinitésimaux, mais je préfère, pour ma part, rester dans le formalisme de l'algèbre.
Un aspect fascinant de la théorie des représentations est son versant "modulaire" largement développé à l'origine par Richard Brauer pour obtenir des informations sur les caractères irréductibles des groupes finis.
Une représentation d'un groupe fini $G$ sur un corps $K$ est "modulaire" lorsque $K$ est de caractéristique $p>0$.
Sans la théorie des représentations modulaires des groupes finis il n'y aurait jamais eu de classification des groupes finis simples. Encore aujourd'hui, et pour longtemps semble-t-il, elle est à l'origine de très nombreux problèmes ouverts liés aux concepts de "blocs" et de "groupe de défaut d'un bloc" ($\textbf{defect group of a block}$).
La compréhension de ces concepts (au moins dans leur philosophie la plus générale) est à elle seule une véritable gageure, chacun d'eux s'appuyant sur une myriades de définitions tout aussi opaques. Et pour ne rien arranger, la littérature francophone est dans ce domaine quasi-inexistante. Il y a bien les travaux de Michel Broué mais ils sont "teintés" de théorie des catégories et franchement, c'est bien plus qu'un intellect moyen ne peut en supporter.

• Existe-t-il un critère simple pour décider, à partir de la table de caractères d'un groupe fini simple, si ses $p$-sous-groupes de Sylow sont abéliens ?

• Quand le $p$-sous-groupe d'un groupe fini $G$ est-il un groupe de défaut pour un certain $p$-bloc de $G$ ?

• Pour un $p$-bloc $B$ de $G$, de défaut $d$ et $k(B)$ le nombre de caractères ordinaires irréductibles dans $B$, on conjecture la borne suivante:
$\textbf{Conjecture $k(B)$ de Brauer}$:

\begin{equation}
\displaystyle k(B) \leq p^{d} \: \: \text{ pour tout bloc}\: B \: \: \text{de tout groupe fini} \: G.
\end{equation}

Ci-dessous: un court article des "Bulletin de l'AMS" sur les représentations modulaires.

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Ah si on se met à parler de représentations modulaires je vais ramener ma fraise : si la caractéristique du corps divise l'ordre du groupe (ou plus généralement si on se met sur un anneau dans lequel $|G|$ n'est pas inversible), on a des phénomènes (co)homologiques intéressants qui apparaissent, et ils sont d'autant plus intéressants qu'ils mêlent algèbre (la théorie des représentations modulaires) et topologie.
Le lien se fait notamment au niveau de la (co)homologie de groupes, qui permet d'interpréter des phénomènes algébriques (foncteur dérivé, non exactitude des points fixes, ...) en termes topologiques ((co)homologie de $BG$ à coefficients dans $\mathbb F_p$, qui s'observe notamment dans les actions de $G$ sur différents espaces). Il y aurait beaucoup à dire là-dessus...

Concernant les fonctions L d'Artin, les représentations linéaires et la démonstration du théorème de Chebotarev.
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