Questions sur les endomorphismes

Ta question ne veut rien dire. Qui doit être auto-adjoint ? Connais-tu un espace vectoriel qui admet plusieurs bases canoniques ?

Explication

Soit $E$ un $\R$ espace vectoriel de dimension finie et $f \in End(E)$, on prend une base $E=\sum_{n=1}^N v_n \R$, pour des coefficients on a $$f(v_n) = \sum_{m=1}^N A_{n,m} v_m$$ alors $A\in M_N(\R)$ est la matrice de $f$ dans la base $v_n$.

Si on trouve qu'elle est symétrique $A = A^\top$ alors le problème qu'on rencontre c'est que si on remplace $v$ par une autre base $w$ on aura $A$ qui deviendra $B=P A P^{-1}$ (où $Pv_n = w_n$) et en général $B$ ne sera pas symétrique.

L'idée c'est donc que pour parler d'endomorphisme symétrique/auto-adjoint, soit on fixe une base une fois pour toute, soit on fixe un produit scalaire sur $E$ et on utilise la définition suivante $$f \text{ est auto-adjoint} : \qquad \forall x,y\in E,\quad \langle f(x),y\rangle = \langle x,f(y)\rangle$$
On a alors que $f$ est auto-adjoint ssi sa matrice est symétrique dans une (donc toute) base orthonormale.