Questions sur les endomorphismes
dans Algèbre
Bonjour,
J'ai simplement une petite question qui m'aiderait à mieux comprendre mon cours.
Est-ce qu'une matrice représentant un endomorphisme dans une base canonique est forcément auto-adjoint ?
Merci
J'ai simplement une petite question qui m'aiderait à mieux comprendre mon cours.
Est-ce qu'une matrice représentant un endomorphisme dans une base canonique est forcément auto-adjoint ?
Merci
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Réponses
"La matrice de $f$ dans la base canonique est la matrice
$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$
Il s’agit d’une matrice symétrique. Comme la base canonique est orthogonale,
l’endomorphisme f est autoadjoint."
Je ne comprends pas la justification. Il faut que la base formée par les vecteurs colonnes de la matrice soit orthogonale ou alors que la base dans laquelle on exprime l'endomorphisme soit orthogonale ?
Ta question initiale est mal posée parce qu'elle ne contient pas le mot "symétrique".
Les endomorphismes autoadjoints correspondent aux matrices symétriques comme les endomorphismes bijectifs correspondent aux matrices inversibles, ou bien comme les endomorphismes diagonalisables correspondent aux matrices diagonales : dans une base adaptée (enfin sauf que dans les deux premiers cas, les matrices de passages forment un groupe, douteux dans le troisième cas)
Bon enfin, "auto-adjoint", c'est la qualité des endomorphismes associés à des matrices symétriques dans la base canonique.
Après on regarde avec quelles symétries cette notion est compatible. (déjà les transformations orthogonales préservent ce caractère, et les homothéties aussi !)
Si on trouve qu'elle est symétrique $A = A^\top$ alors le problème qu'on rencontre c'est que si on remplace $v$ par une autre base $w$ on aura $A$ qui deviendra $B=P A P^{-1}$ (où $Pv_n = w_n$) et en général $B$ ne sera pas symétrique.
L'idée c'est donc que pour parler d'endomorphisme symétrique/auto-adjoint, soit on fixe une base une fois pour toute, soit on fixe un produit scalaire sur $E$ et on utilise la définition suivante $$f \text{ est auto-adjoint} : \qquad \forall x,y\in E,\quad \langle f(x),y\rangle = \langle x,f(y)\rangle$$
On a alors que $f$ est auto-adjoint ssi sa matrice est symétrique dans une (donc toute) base orthonormale.