Sous-corps engendré
Soit $K$ et $L$ deux sous-corps de $M$.
J'avoue ne pas comprendre cette assertion, pour moi le corps engendré se définit par une intersection. On ne peut pas, si je ne m'abuse, en déduire directement ce fait.
Assertion a écrit:Les éléments du corps engendré par $K$ et $L$ s'écrivent de la forme $\sum u_{i} v_{i}$ avec $u_{i}$ et $v_{i}$ des éléments de $K$ et $L$ respectivement.
J'avoue ne pas comprendre cette assertion, pour moi le corps engendré se définit par une intersection. On ne peut pas, si je ne m'abuse, en déduire directement ce fait.
Réponses
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Bonjour,
Soit \(A\) l'ensemble des éléments de la forme \(\sum u_iv_i\) avec \(u_i\) et \(v_i\) des éléments de \(K\) et \(L\) respectivement.
Tout sous-corps de \(M\) contenant \(K\) et \(L\) contient \(A\).
Si \(A\) est un corps (ce qui reste à prouver), \(A\) est le corps engendré par \(K\) et \(L\). -
Effectivement j'ai aussi eu ce réflexe, comme les groupes ! Mais j'ai abandonné au moment de montrer que $\frac{1}{\sum u_{i} v_{i}} = \sum u'_{i} v_{i}' $.
Je ne vois pas trop comment faire et en plus j'ai l'impression que c'est un cas particulier d'un fait plus général, d'où le fait que j'ai décidé de venir en parler ici. -
On prend $M = \Q(x,y)$ (corps des fractions rationnelles sur $\Q$ en deux indéterminées $x,y$), et les sous-corps $K = \Q(x)$, $L=\Q(y)$.
C'est quoi le corps engendré (sous-entendu dans $M$) par $K$ et $L$ ? Et le sous anneau $A$ de gb constitué des sommes de produits d'un élément de $K$ et d'un élément de $L$ ? Est ce que $1 \over x + y$ est dans $A$ ? Comment reconnaître qu'un élément de $M = \Q(x,y)$ est dans $A$ ? -
1) Le sous corps engendré par $K$ et $L$ est le plus petit corps inclus dans $Q(x,y)$ contenant $Q(x)$ et $Q(y)$ et comme il contient $x$ et $y$ il contient $Q(x,y)$ donc c'est $Q(x,y)$.
2) Le sous-corps engendré par le sous-anneau $A$ de gb est le plus petit sous-corps de $Q(x,y)$ contenant $A$.
En l’occurrence il contient $x$ et $y$ donc c'est $Q(x,y)$.
3) et 4) Je ne sais pas. -
Et je ne comprends pas en quoi ça résout le problème.
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Tout-à-fait Jean-Paul, je veux dire Raoul.
1. Si $R(x,y)$ est un habitant de $A$, il existe un polynôme non nul $F(x) \in \Q[x] \setminus \{0\}$ et un polynôme non nul $G(y) \in \Q[y] \setminus \{0\}$ tel que $FGR \in \Q[x,y]$, n'est ce pas ?
2. Pour $R(x,y) = {1 \over x + y}$, point de polynômes $F, G$ en vue en ce qui concerne 1. Et donc ? Ou encore ${1 \over x+y} \notin A$ : preuve par étonnement du contraire.
3. Et peut-être qu'en ce qui concerne 1. il y a une réciproque ? -
Par contre l'assertion de Gentil est correcte si $M$ est une extension algébrique de $K$.
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Je cherche une preuve raoul.S, pouvez vous me l'indiquer s'il vous plaît ?
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On suppose que $M$ est une extension algébrique de $K$. Soit $x:=\sum u_iv_i$ avec les $u_i$ dans $K$ et les $v_i$ dans $L$.
Etant donné que $x$ est algébrique sur $K$, $K[x]$ est un corps. Donc $x^{-1}$ est dans $K[x]$. Donc $x^{-1}$ est également de la forme $\sum u'_iv'_i$ avec $u'_i$ dans $K$ et les $v'_i$ dans $L$.
PS. $x$ est supposé non nul 8-) -
Merci.
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