k-schéma de type fini

zariski
zariski
dans Algèbre
Bonjour,
Je n'arrive pas à démontrer que l'ensemble des points fermés d'un k schéma X de type fini est dense dans X.
Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance !

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    C'est essentiellement le nullstellensatz : déjà on peut se ramener à supposer $X$ affine, donc $\mathrm{Spec}A$ avec $A$ de type fini sur $k$. On regarde alors un ouvert $D(f) \subset X$, $f\in A$, dont on suppose qu'il ne contient pas de point fermé de $X$.

    Sauf que $D(f)$ c'est $\mathrm{Spec}A_f$, $A_f$ est de type fini sur $k$, donc par le Nullstellensatz, elle a un point fermé.

    Maintenant il suffit de voir qu'un point de $D(f)$ est fermé dans $X$ si et seulement si il l'est dans $D(f)$. C'est vrai parce que sur un schéma de type fini sur un corps, "être un point fermé" se teste sur les corps résiduels, c'est donc une info locale (précisément, un point $x$ est fermé si et seulement si $\kappa(x)$ est une extension finie de $k$ - c'est encore le Nullstellensatz-, ce qui est local, donc vrai dans $X$ si et seulement si c'est vrai dans $D(f)$)
  • Pea
    Pea
    Il y a quand même une subtilité pour se ramener au cas affine: il faut déjà utiliser la caractérisation locale des points fermés. Ensuite, pour montrer que $Spec(A_f)$ a un point fermé je ne crois pas que l'on ait besoin du Nullstellensatz...
  • aRc
    aRc
    Voici une autre preuve (qui utilise la notion de dimension) qui se ramène essentiellement à la normalisation de Noether qui implique le Nullstellensatz donc essentiellement la même que Maxtimax.

    On peut supposer $X$ irréductible et intègre (quitte à prendre $X_{red}$).
    On considère un ouvert affine $U=Spec(A)$ non vide, on choisit un idéal maximal $\mathfrak m$ de $A$ qui correspond un point fermé $x$ de $U$.
    Soit $V=Spec(B)$ un ouvert affine contenant $x$ alors $\dim(\mathcal O_{U,x})=\dim(A)=\dim(X)=\dim(\mathcal O_{V,x})=\dim(B)$, on note $\mathfrak p$ l'idéal de $B$ correspondant à $x$ alors $\dim(B/\mathfrak p)=\dim(B)-\dim(B_{\mathfrak p})=0$ i.e $B/\mathfrak p$ est un corps donc $\mathfrak p$ est maximal et ainsi $x$ est fermé dans $V$.
    On conclut en disant que les ouverts affines recouvrent $X$.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Pea : tu as raison, je n'utilise le nullstellensatz que pour caractériser les points fermés (ce que je mentionne à la fin - mais tu as raison que j'ai mal écrit ce que je racontais , j'aurais dû mettre dès le début la caractérisation locale des points fermés ça aurait été plus clair)
  • zariski
    zariski
    Merci pour vos réponses !
    J'ai du mal à comprendre pourquoi un point $x$ est fermé ssi son corps résiduel est une extension finie de $k$, pouvez-vous expliciter cette partie ?

    Et pour montrer que $D(f)$ a bien un point fermé, il suffit juste de voir que $A_f$ est non nul non ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    zariski : oui pour $A_f$, c'est ce que Pea me faisait remarquer, j'ai utilisé le Nullstellensatz pour rien .
    Pour ta question, on procède comme suit : $x$ est fermé si et seulement si il est fermé dans tout ouvert affine le contenant.
    Donc on se ramène au cas affine (au sens où si on sait prouver la caractérisation pour les ouverts affines, on a gagné)

    Maintenant si $A$ est de type fini sur $k$, le Nullstellensatz dit en particulier que si $m$ est un idéal maximal de $A$, $A/m$ est une extension finie de $k$, donc l'anneau local de $\mathrm{Spec} A$ en un point fermé $x$ (qui est simplement $A/p_x$, puisque c'est $A_{p_x}/p_xA_{p_x} \cong A/p_x$, $p_x$ étant maximal) est une extension finie de $k$.

    Inversement, si l'anneau local le corps résiduel (merci Pea !) de $\mathrm{Spec} A$ en un point $x$ est une extension finie de $k$, alors $A\to \kappa(x)$ est surjectif (je prends des générateurs $a_1,...,a_n$ de $\kappa(x)$ sur $k$, $a_i$ est l'image de $\frac{\alpha_i}{b_i}$ où $\alpha_i, b_i\in A, b_i\notin p_x$, et alors les images des $\alpha_i, b_i$ engendrent aussi $\kappa(x)$ sur $k$ car $b_i$ est algébrique sur $k$, donc son inverse est un polynôme en $b_i$, et eux sont dans l'image de $A$) et donc $p_x$ est maximal, i.e. $x$ est fermé.

    (il doit y avoir plus simple pour la réciproque mais j'ai oublié comment faire donc j'ai dû retrouver une preuve :-D )
  • Pea
    Pea
    Oui c'est cela, sauf que je crois qu'il faut dire "corps résiduel" ici et non "anneau local".
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Corrigé, merci Pea !
  • claude quitté
    claude quitté
    C'est quoi le but du jeu ? Ne pas prononcer ``anneau de Jacobson'' ? (toute algèbre de type fini sur un corps est un anneau de Jacobson). J'ai bien compris ?
  • aRc
    aRc
    Oui en effet claude, $A$ est de Jacobson si et seulement si tout fermé $F$ de $Spec(A)$ vérifie $\overline F_0=F$ où $F_0$ sont les points fermés de $F$.
    Donc ce que tu dis implique la densité.
  • zariski
    zariski
    Bonjour,
    Merci beaucoup ! C´est clair maintenant :)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 36

Benoit RIVETGuegoJLapinSMIVassilliabiguine_equationchanigdedekind93jelobreuilpappus +26 Invités