Polynôme caractéristique, trace, déterminant

MaSupremacy · December 2019

Bonjour

Dans une matrice carrée $A$ de dimension 2 on peut dire que son polynôme caractéristique s'écrit : $$

X^2 - \mathrm{tr}(A)X + \det(A).

$$ Existe-t-il une même relation pour une matrice carrée de dimension 3 ?
Merci

malavita · December 2019

Oui et non, de façon générale le polynôme caractéristique d'une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est de la forme (à un facteur $(-1)^n$ près, suivant la définition du polynôme caractéristique choisie $det(A-XI_n)$ ou $det(XI_n-A)$):
$$X^n-Tr(A)X^{n-1}+\cdots+(-1)^ndet(A)$$

GaBuZoMeu · December 2019

Oui si l'on fait intervenir la somme des mineurs principaux de taille 2.

noix de totos · December 2019

En dimension $3$, ce polynôme s'écrit donc $X^3 - (\mathrm{tr} A) X^2 + \tfrac{1}{2} \left ( \left( \mathrm{tr} A \right)^2 - \mathrm{tr} ( A^2 ) \right ) X - \det A$.

gb · December 2019

Bonjour,

En dimension 3 on peut aussi voir le coefficient du terme du premier degré comme la trace de la comatrice.

Poirot · December 2019

De manière générale, les coefficients du polynôme caractéristique sont, au signe près, les fonctions symétriques élémentaires en les valeurs propres de la matrice. En particulier, ceux-ci peuvent s'exprimer à l'aide des sommes de Newton en ces valeurs propres, c'est-à-dire les traces des puissances de $A$, comme l'illustre la formule donnée par noix de totos.

MaSupremacy · December 2019

D'accord, je vois. merci à tous

marsup · December 2019

Je suis estomaqué par cette formule avec $\def\tr{\text{tr}}\tr^2(A)-\tr(A^2)$. ::o

Pour une matrice $2\times2$, on a : $\tr^2(A)-\tr(A^2) = 2 \det(A)$, et on ne me l'avait jamais dit (bon en fait j'avais déjà dû le remarquer en démontrant le théorème de Cayley-Hamilton pour les matrices $2\times 2$.)

Polynôme caractéristique, trace, déterminant

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