Matrice de trace nulle

Ils démontrent ça comment ? Passe le lien :-D

J'ai trouvé, c'est l'exercice 12 du PDF, mais je ne sais pas si la caractéristique $p$ ne change effectivement rien à leur correction. Je n'ai lu qu'en diagonale pour le moment.

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ est semblable à ta matrice.

Voici une idée de solution. Soit $A\in M_n(K)$ une matrice de trace nulle, avec $K$ de caractéristique $p$. On suppose par récurrence que le résultat est vrai pour tout entier $<n$ non multiple de $p$. On se ramène au cas où le nombre de termes nuls de la diagonale atteint son maximum en $A$ parmi toutes les matrices semblables à $A$, et on suppose $A\ne 0$. On peut supposer que $a_{ii}=0$ pour tout $i\geqslant k+1$ et $a_{ii}\ne 0$ pour tout $i\leqslant k$.

Si $k$ n'est pas un multiple de $p$ et si $k<n$, on utilise l'hypothèse de récurrence.

Si $k=n$, alors comme $A$ n'est pas une homothétie, il existe une base $(e_1,\ldots,e_n)$ telle que $Ae_1=a_2$. Contradiction.

Il reste à traiter le cas où $k<n$ est un multiple de $p$. Si $k<n-1$ on applique l'hypothèse de récurrence. Si $k=n-1$, on montre que la matrice $(a_{ij})_{i,j\leqslant k}$ est une homothétie, puis on fait un peu comme dans l'exemple ci-dessus.

Bonjour

J'identifie la matrice \(A\) élément de \(M_n(K)\) et l'endomorphisme \(X\mapsto AX\) de \(M_{n,1}(K)\) qui lui est canoniquement associé.

Si la matrice \(A\) n'est pas scalaire, il existe une colonne \(C\) qui n'est pas propre. En complétant la famille \((C,AC)\) en une base de \(M_{n,1}(K)\), on établit que \(A\) est semblable à une matrice de la forme:
\[\begin{pmatrix}0&L_{n-1}\\C_{n-1}&A_{n-1}\end{pmatrix}\]
et une récurrence permet de conclure.

Récurrence qui ne fonctionne pas puisque \(A_{n-1}\) peut être scalaire…

Le résultat est connu depuis Fillmore :

P.A. Fillmore, On similarity and the diagonal of a matrix, Amer. Math.
Monthly 76 (2) (1969) 167-169.

Fillmore montre plus généralement que pour toute matrice non scalaire
$A \in M_n(K)$ et toute liste $(a_1,...,a_n)$ de somme $\mathrm{tr} A$,
la matrice $A$ est semblable à une matrice dont les coefficients diagonaux sont
$a_1,...,a_n$. Cela se montre effectivement par récurrence comme indiqué, avec une difficulté liée au fait que le bloc inférieur droit puisse être scalaire : on contourne cette difficulté en usant d'une conjugaison supplémentaire pour se ramener au cas où il ne l'est pas...

Oups, merci JLT de m'avoir corrigé. Je suis convaincu par ta preuve!