Bonjour,
Soit $p$ un nombre premier, soit $n$ un entier strictement positif, qui n'est pas multiple de $p$.
Soit $K$ un corps de caractéristique $p$. Est-ce que toute matrice de trace nulle de $M_n(K)$ est semblable à une matrice de diagonale nulle ?
Merci d'avance.
Réponses
@modérateurs: vous pouvez effacer le fil.
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00121.pdf
Si $k$ n'est pas un multiple de $p$ et si $k<n$, on utilise l'hypothèse de récurrence.
Si $k=n$, alors comme $A$ n'est pas une homothétie, il existe une base $(e_1,\ldots,e_n)$ telle que $Ae_1=a_2$. Contradiction.
Il reste à traiter le cas où $k<n$ est un multiple de $p$. Si $k<n-1$ on applique l'hypothèse de récurrence. Si $k=n-1$, on montre que la matrice $(a_{ij})_{i,j\leqslant k}$ est une homothétie, puis on fait un peu comme dans l'exemple ci-dessus.
J'identifie la matrice \(A\) élément de \(M_n(K)\) et l'endomorphisme \(X\mapsto AX\) de \(M_{n,1}(K)\) qui lui est canoniquement associé.
Si la matrice \(A\) n'est pas scalaire, il existe une colonne \(C\) qui n'est pas propre. En complétant la famille \((C,AC)\) en une base de \(M_{n,1}(K)\), on établit que \(A\) est semblable à une matrice de la forme:
\[\begin{pmatrix}0&L_{n-1}\\C_{n-1}&A_{n-1}\end{pmatrix}\]
et une récurrence permet de conclure.
Récurrence qui ne fonctionne pas puisque \(A_{n-1}\) peut être scalaire…
P.A. Fillmore, On similarity and the diagonal of a matrix, Amer. Math.
Monthly 76 (2) (1969) 167-169.
Fillmore montre plus généralement que pour toute matrice non scalaire
$A \in M_n(K)$ et toute liste $(a_1,...,a_n)$ de somme $\mathrm{tr} A$,
la matrice $A$ est semblable à une matrice dont les coefficients diagonaux sont
$a_1,...,a_n$. Cela se montre effectivement par récurrence comme indiqué, avec une difficulté liée au fait que le bloc inférieur droit puisse être scalaire : on contourne cette difficulté en usant d'une conjugaison supplémentaire pour se ramener au cas où il ne l'est pas...