Suite

On pose \[ U_n=\frac{1\times 3\times5\times\cdots\times(2n-1)}{2\times4\times6\times\cdots\times2n} .
\] 1) Exprimer $U_n$ à l'aide des nombres factoriels.
2) Montrer que la suite $(U_n)$ converge.
3) On pose \( V_n=(n+1)U^2_n .\)
Montrer que la suite $(V_n)$ converge. En déduire la limite de la suite $(U_n)$.
4) Simplifier $\quad\displaystyle \prod_{k=2}^{2n} (1-\frac{1}{k}).$ Et comparer ce produit à $\ 2U^2_n.$
5) En déduire que la limite $\ell$ de la suite $(V_n)$ est strictement positive.

Ce que j'ai fait .
1) $U_n=\dfrac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}.$
2) On a \( \dfrac{U_{n+1}}{U_n}=\dfrac{2n+1}{2n+2}\leq1. \Rightarrow U_{n+1}\leq U_n ,\)
donc la suite $(U_n)$ est décroissante et minorée par $0$ (parce que c'est une suite à termes positifs)
Donc la suite $(U_n$) converge

Bonsoir s'il vous plaît pouvez-vous me vérifier si ce que je dis est correct ?

[Ne pas abuser des formules centrées. AD]