Polynômes dans $\mathbb F_p$
Bonjour
Je ne comprends pas la solution proposée par le rapport du jury de l'une des questions (dans la 1ère partie) de l'épreuve d'algèbre de l'an dernier.
Je rappelle la situation.
Soit $p\geq2$ un nombre premier.
Soient $P$ et $Q$ deux polynômes unitaires non constants dans $\mathbb{Z}[X]$ tels que $X^p-1=PQ$
On cherche à montrer que $P(1)$ et $Q(1)$ sont des entiers multiples de $p$. (remarque : l'un des deux entiers $P(1)$ ou $Q(1)$ est nul (donc multiple de $p$) comme on le voit en évaluant la précédente identité en $1$)
En appliquant le morphisme de réduction modulo $p$ (coef par coef), noté $\hat{\pi}:\mathbb{Z}[X]\rightarrow\mathbb{F}_p[X]$ dans l'énoncé, on trouve alors que $$
(X-1)^p=\hat{\pi}(P)\hat{\pi}(Q)
$$ (on se sert notamment de la question précédente, qui est un fait "bien connu"; comme quoi modulo $p$, on a $(X-1)^p=X^p-1$).
Comme $p\geq2$, $X-1$ divise $\hat{\pi}(P)\hat{\pi}(Q)$ dans $\mathbb{F}_p[X]$, et comme $X-1$ est irréductible dans l'anneau factoriel $\mathbb{F}_p[X]$, on a (lemme d'Euclide) qu'il divise l'un des deux ! Mais on veut qu'il divise les deux ! (après, on conclut facilement).
Pourriez-vous m'expliquer pourquoi nécessairement il divise les deux ?
Je comprends pourquoi $\hat{\pi}(P)$ et $\hat{\pi}(Q)$ sont aussi unitaires avec même degré que $P$ et $Q$ (aussi unitaires) respectivement... Mais je n'ai pas saisi en quoi cela permettait d'en déduire pourquoi $X-1$ divise les deux ?
Je ne comprends pas la solution proposée par le rapport du jury de l'une des questions (dans la 1ère partie) de l'épreuve d'algèbre de l'an dernier.
Je rappelle la situation.
Soit $p\geq2$ un nombre premier.
Soient $P$ et $Q$ deux polynômes unitaires non constants dans $\mathbb{Z}[X]$ tels que $X^p-1=PQ$
On cherche à montrer que $P(1)$ et $Q(1)$ sont des entiers multiples de $p$. (remarque : l'un des deux entiers $P(1)$ ou $Q(1)$ est nul (donc multiple de $p$) comme on le voit en évaluant la précédente identité en $1$)
En appliquant le morphisme de réduction modulo $p$ (coef par coef), noté $\hat{\pi}:\mathbb{Z}[X]\rightarrow\mathbb{F}_p[X]$ dans l'énoncé, on trouve alors que $$
(X-1)^p=\hat{\pi}(P)\hat{\pi}(Q)
$$ (on se sert notamment de la question précédente, qui est un fait "bien connu"; comme quoi modulo $p$, on a $(X-1)^p=X^p-1$).
Comme $p\geq2$, $X-1$ divise $\hat{\pi}(P)\hat{\pi}(Q)$ dans $\mathbb{F}_p[X]$, et comme $X-1$ est irréductible dans l'anneau factoriel $\mathbb{F}_p[X]$, on a (lemme d'Euclide) qu'il divise l'un des deux ! Mais on veut qu'il divise les deux ! (après, on conclut facilement).
Pourriez-vous m'expliquer pourquoi nécessairement il divise les deux ?
Je comprends pourquoi $\hat{\pi}(P)$ et $\hat{\pi}(Q)$ sont aussi unitaires avec même degré que $P$ et $Q$ (aussi unitaires) respectivement... Mais je n'ai pas saisi en quoi cela permettait d'en déduire pourquoi $X-1$ divise les deux ?
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