Sujet agrégation interne 2010

side · December 2019

supp

BMaths · December 2019

J'ai un petit doute sur votre ajout, side.
On utilise bien cette propriété :

Si $E$ et $F$ sont deux evn, que $f\in L(E,F)$ alors :

$f$ est continue sur $E\Longleftrightarrow\exists M>0,\ ||f(x)||_F\le M ||x||_E$

Ici, avec la 5ème ligne, on obtient : $$
||\Delta P||\le||P||.

$$ C'est-à-dire l'inégalité de la propriété avec $M=1$.
Est-ce bien cela ?

side · December 2019

supp

BMaths · December 2019

Dans l'énoncé, il est dit dans l'indication que la norme construite doit être de telle sorte que l'application linéaire $\Delta$ soit de norme 1. Alors j'ai voulu obtenir quelque chose du style $\lvert\lvert\lvert\Delta\rvert\rvert\rvert=1$. Mais j'arrive à $\lvert\lvert\lvert\Delta\rvert\rvert\rvert\le 1$.

side · December 2019

supp

BMaths · December 2019

Je vois.
D'une part : $\displaystyle\lvert\lvert H_n\rvert\rvert=\sum_{n=0}^\infty\lvert(\Delta^nH_n)(0)\rvert=\sum_{n=1}^\infty\lvert(\Delta^nH_n)(0)\rvert$.
D'autre part :
\begin{align}
\lvert\lvert \Delta H_n\rvert\rvert
&=\sum_{n=0}^\infty\lvert(\Delta^n(\Delta H_n))(0)\rvert\\
&=\sum_{n=0}^\infty\lvert(\Delta^{n+1} H_n)(0)\rvert\\
&=\sum_{n=1}^\infty\lvert(\Delta^nH_n)(0)\rvert\\
&=\lvert\lvert H_n\rvert\rvert.

\end{align} On a donc : $\displaystyle\lvert\lvert\lvert \Delta\rvert\rvert\rvert=\sup_{P\neq0}\frac{\lvert\lvert \Delta P\rvert\rvert}{\lvert\lvert P\rvert\rvert} \ge\frac{\lvert\lvert \Delta H_n\rvert\rvert}{\lvert\lvert H_n\rvert\rvert}=\frac{\lvert\lvert H_n\rvert\rvert}{\lvert\lvert H_n\rvert\rvert}=1$.
Qu'en pensez-vous ?

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BMaths · January 2020

Bonjour,
j'étais en train de refaire ce sujet et j'ai bloqué sur l'intervention de gb ici. Il dit :

gb a écrit:

Je conçois que la définition de l'homogénéité soit énoncée avec l'inégalité, mais je me suis toujours demandé pourquoi on n'insistait pas assez sur le côté suffisant de l'inégalité.

Quelqu'un peut-il m'expliquer ce que cela signifie ?
D'avance merci, et excellente année à tous.

Sujet agrégation interne 2010

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