Décomposer en éléments simples

Bonjour,

J'imagine que beaucoup qualifieront cet exercice de classique, mais je l'ai trouvé beaucoup moins immédiat que semble le suggérer la réponse de Gérard 0.
En écrivant que dans $\mathbb K ((Y))$ on a l'identité
$ \forall a \in \mathbb K \setminus\{0\},\ \dfrac 1 {Y^n(Y-a)^n} =\displaystyle \dfrac {(-1)^n}{a^nY^n}\sum_{k=0}^{+\infty}\binom{n+k-1}{k} \dfrac {Y^k} {a^k},\quad$ on déduit que :
$\dfrac 1{Y^n(Y-a)^n} = \displaystyle \dfrac {(-1)^n}{a^n}\sum _{k=0} ^{n-1}\binom { n+k-1} k \dfrac 1 {a^k Y^{n-k}} + \dfrac {A(Y)}{B(Y)},\:\: $ où $\quad A(Y), B(Y) \in \mathbb K[Y],\quad B(0) \neq 0, \quad $ puis:
$\forall \alpha, \beta \in \mathbb K $ tels que $ \alpha \neq \beta,$
$ \displaystyle \dfrac 1{(X-\alpha)^n(X-\beta)^n} =(-1)^n \sum_{k=0}^{n-1} \binom {n+k-1}k \left ( \dfrac 1{(\alpha-\beta)^{n+k} (X- \beta)^{n-k}} + \dfrac 1{(\beta - \alpha)^{n+k}(X-\alpha)^{n-k}} \right).$

[edit : Je viens de me rendre compte de mon erreur, effectivement, ça ne marche pas, il reste des termes qui ne sont pas éléments simples]

Lou16 :

Pourtant le développement avec la formule du binôme de la puissance n-ième de $\frac 1 {\alpha-\beta}\left( \frac 1 {x-\alpha}-\frac 1 {x-\beta}\right)$ est assez immédiat. Et ne donne pas la formule que tu as écrit ($\frac 1 {(\alpha-\beta)^n}$ se factorise, et les coefficients $\alpha$ et $\beta$ n'apparaissent plus).

Cordialement.

NB : le cas des puissances différentes me semble nettement moins amical ...

supp