Dimension de $A$
Bonsoir, je suis bloqué sur la deuxième question de cet exercice.
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $u$ un endomorphisme de $E$.
Soit $A$ l’ensemble des endomorphismes $v$ de $E$ tels que $u\circ v=v\circ u=0$.
Montrer que $A$ est un sous-espace vectoriel de $L(E)$ et donner sa dimension.
Merci pour votre aide.
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $u$ un endomorphisme de $E$.
Soit $A$ l’ensemble des endomorphismes $v$ de $E$ tels que $u\circ v=v\circ u=0$.
Montrer que $A$ est un sous-espace vectoriel de $L(E)$ et donner sa dimension.
Merci pour votre aide.
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Réponses
L'idéal serait de trouver des bases de \(E\) dans laquelle les matrices des éléments de \(A\) seraient suffisamment simples.
Peux-tu caractériser les éléments de \(A\) par certains de leurs éléments caractéristiques, comme leur noyau et leur image? ce serait un premier pas vers la détermination de telles bases.
Pour ta première idée je ne comprends pas trop.
La caractérisation que tu donnes des éléments de \(A\) te permet-elle d'exhiber deux espaces vectoriels \(F\) et \(G\) tels que \(A\) soit isomorphe à \(L(F,G)\) ?
Soit \((e_1,\dots,e_r)\) une base de \(Im u\), complétée en une base \(B\) de \(E\).
Quelle est la forme de la matrice qui représente un élément de \(A\) dans la base \(B\) ?
Dans l'espace où la particularité de \(B\) n'intervient pas, peux-tu remplacer la base \(B\) par une base \(B'\) qui permette de tenir compte de la deuxième inclusion caractérisant les éléments de \(A\) ?
La caractérisation que tu donnes des éléments de \(A\) te permet-elle d'exhiber deux espaces vectoriels \(F\) et \(G\) tels que \(A\) soit isomorphe à \(L(F,G)\) ?
Si on ne travaille pas avec des endomorphismes, les matrices fournissent un autre angle d'attaque du problème : on choisit deux bases de \(E\), on dispose d'un isomorphisme entre endomorphismes et matrices qui les représentent dans ces bases et il suffit de déterminer la dimension de l'espace vectoriel \(A'\) des matrices qui représentent les endomophismes de \(A\).
Le truc, c'est de bien choisir les bases dans lesquelles on va représenter les endomorphismes ; il faut deux bases, une au départ, une à l'arrivée, une base pour utiliser \(\mathrm{Im}(v)\subset\mathrm{Ker}(u)\) et une base pour utiliser \(\mathrm{Im}(u)\subset\mathrm{Ker}(v)\), le but étant de simplifier la forme des matrices de \(A'\) pour faciliter la détermination de la dimension.