Bon, j'ai regardé la réponse sur le PDF dont Math Coss avait sorti l'exo. Je ne sais pas ce que sont les germes de fonctions, et les anneaux locaux c'était la suite de mon programme. Pas étonnant que je ne vois pas ce qu'il fallait voir.
J'aimerais l'avis des initiés : mon plan au départ était de d'abord regarder la localisation, puis les anneaux locaux, puis les espaces localement annelés. Vaudrait-il mieux que je regarde d'abord les anneaux locaux, avant de terminer sur la localisation ?
Là on m'a donné un exemple de localisation qui fait intervenir un objet que je comprends mal pour le moment, les germes de fonctions avec leur structure d'anneau. Peut-être serait-il mieux que je demande des exemples moins "analytiques" pour le moment...
J'ai vu un peu la localisation dans $\mathbb{Z}$ et dans $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$. Pour continuer sur de l'algèbre, y a-t-il des localisations intéressantes à voir sur les anneaux de polynômes ou de matrices ?
Tu peux essayer de voir aussi ce qui se passe quand tu localises un idempotent.
Ce serait intéressant pour toi je pense de travailler un peu sur les anneaux locaux pour comprendre l'intérêt de localiser en un idéal premier, et plus généralement pour comprendre les méthodes du type "je sais prouver un truc pour les anneaux locaux, et je montre que je peux m'y ramener en localisant à un certain nombre d'idéaux premiers" (qui te rapprochent un peu de la géométrie algébrique)
Je suis d'accord avec Maxtimax, les anneaux locaux sont à la fois un bon exercice sur les localisations (i.e prendre un anneau $A$, un idéal premier $\mathfrak{p}$, $S = A \setminus \mathfrak{p}$, et montrer que $S^{-1}A$ est local), et sont aussi fondamentaux en algèbre commutative et en géométrie algébrique. Entre ce type de localisation (par rapport au complémentaire d'un idéal premier), et celle qui consister à ne localiser qu'en un élément, tu épuises déjà presque toutes les localisations que tu risque de rencontrer "dans la nature".
EDIT: je viens de penser (je ne suis pas sur que ça t'ai été donné dans le fil), mais si tu tiens à continuer sur les localisations sans aller sur les anneaux locaux et que tu es un petit peu à l'aise avec les modules, il y a une continuation naturelle et importante de la théorie, avec des modules. Par exemple, étant donné un $A$-module $M$, et une partie multiplicative $S$ de $A$, tu peux t'amuser à définir un $S^{-1}A$ module $S^{-1}M$, et de le caractériser par une propriété universelle ($A$ étant un $A$-module, tu vas forcément retrouver des choses connues dans ce cas).
L'étape suivante, c'est de montrer que cette localisation, au niveau des modules, est "exacte", i.e, étant donnée une suite exacte courte $0 \to M_0 \to M_1 \to M_2 \to 0$ de $A$-modules, la suite de $S^{-1}A$ modules $0 \to S^{-1}M_0 \to S^{-1}M_1 \to S^{-1}M_2 \to 0$ est elle aussi exacte. C'est un fait qui est très souvent utilisé tacitement par exemple, pour justifier que le localisé d'un sous-module est un sous-module du localisé.
J'ai cherché rapidement s'il y a un PDF de cours en ligne sur les anneaux locaux, pour avoir les résultats principaux à avoir vus et peut-être quelques exercices fondamentaux. Je n'ai rien trouvé de satisfaisant, même pas en anglais. Seulement des cours très généraux dont la localisation et les anneaux locaux ne sont qu'un petit paragraphe et où tout est un peu mélangé.
Je connais la définition d'anneau local. Quelqu'un peut-il me donner une liste des résultats importants sur les anneaux locaux ? Un "crash course" en quelque sorte.
EDIT : oui, j'ai vu l'histoire de localisation avec des modules, en cherchant un cours sur les anneaux locaux, justement.
Le résultat fondamental de base sur les anneaux locaux c'est le lemme de Nakayama. Il est à la base d'énormément d'arguments sur les anneaux locaux, et il est important de savoir jongler entre ses différentes formulations. Tu devrais jeter un oeil à la page wiki dudit lemme.
Côté "cours" sur les anneaux locaux, le livre de Jean-Pierre Serre "Algèbre locale, multiplicités" est une merveille, il est très bien écrit (la version anglaise a quelques petits ajouts, et typographiquement, elle est plus jolie). Par contre, ça part vite assez loin de considérations "élémentaires" sur les anneaux locaux, même si c'est plein de théorèmes importants.
Tu peux y jeter un œil si tu veux, mais ce n'est peut-être pas exactement ce que tu cherches.
Le Atiyah - MacDonald "Introduction to commutative algebra" est un bijou. Maintenant, je ne pense pas qu'on le trouve gratuitement sur internet - sauf piratage.
Mais "Représentation linéaire des groupes finis" est très bien! ::o
Après, j'avoue que ça a son style d'écriture, je peux comprendre qu'on n'accroche pas.
Si plein de formulations du lemme de Nakayama ne mentionnent pas les anneaux locaux, c'est car elles travaillent à la place avec des anneaux quelconques, et prennent l'intersection de tous les idéaux maximaux. Dans le cas local, c'est juste l'idéal maximal.
GaBuZoMeu : l'Atiyah-Macdonald, je l'avais déjà téléchargé en PDF, tiens. Il n'a pas l'air de parler des anneaux locaux très en détail, ils sont mentionnés brièvement au début et on dirait que c'est tout (en ayant lu en diagonale).
Chat-maths : perso, je trouve le Serre sur les représentations écrit de manière très peu sympathique. Il est vraiment très libéral (imprécis) sur les notations à plein d'endroits, et le fait qu'il écrit certains théorèmes qui sont des équivalences seulement comme des implications parce que POUR LUI l'autre implication est évidente, moi je trouve ça vraiment nul. Je n'aime vraiment pas travailler avec ce livre. Vraiment, vraiment pas. Il contient des tas d'informations, mais il faut les traduire soi-même.
Tu devrais relire Atiyah MacDonald plus sérieusement. On y trouve Nakayame, par exemple, page 21. Il y a aussi tout ce qu'il faut savoir sur la localisation.
Et puis à la fin, des choses sur les anneaux locaux réguliers.
Je n'ai pas encore pris le temps de le lire, hé ! J'ai découvert que je l'avais déjà téléchargé, quelqu'un a déjà dû me le conseiller pour autre chose, et je n'ai pas pris/eu le temps de le regarder en détail pour l'instant.
Quand je dis "lire en diagonale" c'est parcourir le PDF rapidement à la recherche des mots-clés ("local ring" en l'occurence)
A commencer par le lemme de Nakayama. L'article Wiki français ne fait aucune référence aux anneaux locaux, mais celui en anglais, oui.
Si tu disposes d'un peu de prérequis en théorie des faisceaux, tu peux vérifier la version géométrique du lemme de Nakayama qui te facilitera son compréhension. Elle permet de passer géométriquement du ponctuel au local. Le lemme de Nakayama permet de construire le pont pour passer du ponctuel au local.
En résumé, cette version géométro-faisceautique dit :
Soit $ (X, O_X ) $ un espace localement annelé, et $ \mathcal{F} $ est un $ O_X $ - module.
Soit $ (x, \kappa (x) \otimes \mathcal{F} ) $ la trace de $ (X , \mathcal{F} ) $ sur $ \{ x \} $ :
Si $ (x, \kappa (x) \otimes \mathcal{F} ) $ a une base ponctuel $ e_i (x) = x \otimes e_i $, ( Parce que c'est un espace vectoriel. Garde à l'esprit que si tu as un faisceau qui s'identifie à un fibré vectoriel, alors les anneaux locaux $ \mathcal{F}_x $ de ce faisceau s'identifient aux fibres $ p^{-1} (x) $ du fibré vectoriel se mettant algébriquement sous la forme : $ \kappa (x) \otimes \mathcal{F} = \mathcal{F}_x / \mathfrak{m}_{x} \mathcal{F}_x $ ), alors, $ (x, \kappa (x) \otimes \mathcal{F} ) $ se prolonge en un ouvert $ (U, \mathcal{F}_{|U} ) $ qui a pour base : $ {e_{i}}_{|U} $.
Cela se traduit en gros en disant que : $ \kappa (x) \otimes \mathcal{F} = 0 \ \ \Longrightarrow \ \ \mathcal{F}_{|U} = 0 \ \ \Longrightarrow \ \ \mathcal{F}_x = 0 $
Et ça c'est juste le lemme de Nakayama qui affirme que ( en gros ) : $ M/IM = 0 \ \Longrightarrow \ M = 0 $.
Comprends-tu maintenant le lemme de Nakayama et son interprétation géométrique ?
Pas besoin d'aller le réapprendre à nouveau dans les livres. Garde juste ça à l'esprit.
J'ai ouvert ce fil pour me donner les bases des bases pour les espaces localement annelés, donc non, je n'ai pas compris grand-chose à ce que tu as dit. Mais de le comprendre serait une des finalités de ce que j'ai entrepris.
Il suffit de parcourir les $ 13 $ pages qui figurent dans le pdf çi-joint, entre la page : 122-135. Tu as toutes les notions nécessaires et suffisantes qu'il faut connaître pour maîtriser ce sujet, dans ces $ 13 $ pages. C'est tout ce qui est demandé de connaitre.
Il suffit d'une demi-heure pour les lire en entier et les comprendre, et c'est fini tes soucis que tu emmagasines en toi à propos de ce sujet.
Il me semble aussi que les deux postes affichés ici : https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/749457-faisceaux.html , par : invite52487760 , suffissent pour te mettre sur les rails, et ne pas te perdre désormais dans ce sphère d'espaces localement annelé - schémas. Les informations que tu trouveras dans ces deux postes sont très précieux. Tu les trouveras nul part ailleurs dans les livres. On ne les dit pas au public. C'est moi qui les a rédigé ces deux postes.
Il y a un morceau sur les anneaux locaux à la page 55 du poly que tu as partagé. Même là, ils ne parlent pas très longtemps des anneaux locaux en eux-mêmes (et beaucoup plus de la localisation en général). N'y a-t-il vraiment pas plus à savoir dessus ?
Tu m'as dit que ce qui te préoccupe, ce sont les espaces localement annelé. Tu ne m'as pas parlé d'anneaux locaux. Attend un peu, je vais te rédiger un autre message.
Oh, si, j'ai dit précédemment que je m'intéressais aux anneaux locaux et à la localisation parce qu'il y a "espace localement annelé" dans la définition de variété algébrique affine, qui est censé être le type d'objet le plus simple en géométrie algébrique. Les faisceaux, encore, j'en fais mon affaire, mais il faut quand même que je sache faisceau DE QUOI, non ?
Puisqu'un anneau local est un anneau qui n'admet qu'un seul idéal maximal, je pense que je vais juste me replonger dans les idéaux maximaux pour commencer, pour voir comment ça fonctionne et ce qu'il y a d'intéressant à dire dessus (je sais que je les ai vus une fois à la fac, mais bon, j'ai déjà dit ce que je pensais de la majorité de mes cours de fac). Après, je verrai ce qu'il se passe si on suppose qu'un anneau n'en admet qu'un seul. J'ai le lemme de Nakayama à regarder, aussi.
Je viens de parcourir la page : $ 55-56 $, et il me semble que c'est ce qui suffit de connaitre pour une bonne compréhension des anneaux locaux d'espaces localement annelé. Mais lorsqu'on se met à apprendre la notion de schémas, qui est un type particulier d'espaces localement annelé, on a besoin du cours d'algèbre commutative sur la localisation, pour construire l'équivalent algébrique des anneaux locaux de ces schémas, c'est à dire, d'espaces localement annelé.
Le pdf que je t'ai joint suffit pour apprendre ces constructions. Regarde la partie schémas, à partir de la page : 143.
Pour apprendre les notions d'algèbre commutative sur la localisation, çi-joint, je t'insères un cours très important qui a disparu du net depuis des années :
Tu regardes :
- La notion de localisation d'anneaux entre la page : 38-45. Donc, 7 pages. Un quart d'heure de lecture suffit pour ceux qui zappe les démonstrations. Ce qui compte ce ne sont pas les démonstrations, mais saisir comment l'objet est construit et comment on le manipule. Si tu sais ce qu'est un quotient de groupe par un sous groupe tu n'auras aucun problème en localisation.
- La notion de localisation de modules entre la page : 107-110. Donc, 3 pages. Un quart d'heure de lecture aussi suffit pour ceux qui zappe les démonstrations.
Tu peux nous dire ce que tu penses des cours à la fac ?
Perso, j'ai juste été pour les examens en L2 et très peu de cours en L3/M1 pour le M2 j'ai été sérieux mais j'ai trouvé que c'était beaucoup beaucoup trop évolué (c'est peut-être parce que je n'ai assisté aux cours avant :-D)
Exo :
Soit $R = \Z / p^2\Z$ je note $\pi : R \to R'$ la projection canonique avec $R' = \Z/p\Z$ , soit $a,b \in R$ tel qu'il existe $u,v \in R'$ tel que $\pi(a) u + \pi(b) v = 1$ alors il existe $\overline{u}, \overline{v} \in R$ tel que : $\overline{u} a + \overline{v} b = 1$.
Goléon :
... Que les cours à la fac sont les mêmes que les cours que tu apprends quant tu te mets seul devant le net. Aucune différence. Je ne comprends pas ta question Goléon.
Pour ton exo, il suffit d'établir ( si je ne m'abuse ) que, $ ( \overline{a} ) + ( \overline{b} ) = R' \ \Longrightarrow (a)+(b) = R $, en remarquant que l'image inverse d'un égaliseurs par une surjection est un égaliseur. Non ?
J'ai fait l'inverse de Goleon, en Licence et pendant mon premier M1 j'allais sagement aux cours et j'ai raté beaucoup de choses, pendant mon deuxième M1 et en M2 j'ai à peu près tout séché et à peu près tout réussi (de peu, puisqu'il me manquait beaucoup de bases de Licence, mais quand même).
Disons que j'ai certains cours où je ne comprends pas où le temps est passé. On a fait un semestre sur les groupes, et un semestre sur les représentations. Là j'ai écrit beaucoup, vu plein de choses, les cours n'étaient pas particulièrement digestes mais au moins ils étaient bien fournis, et en bossant soi-même un peu on finissait pas comprendre ce que le prof avait raconté. J'ai eu un cours sur "les anneaux" (anneaux, idéaux, modules, polynômes, corps, bases sur les extensions... supposément) qui est complètement vide. A se demander comment j'ai compris quoi que ce soit au cours de théorie de Galois qui venait après.
Et je pense que le fait que ce cours-là en particulier était très mauvais est un gros problème pour moi : beaucoup de choses qui m'ont l'air intéressantes finissent toujours par me bloquer à cause d'une notion que j'aurais dû apprendre dans ce cours-là et que je n'ai pas encore rattrapée : modules simples/semi-simples, idéaux principaux/maximaux, bimodules, produits tensoriels, localisation... j'ai à chaque fois une idée très vague du truc (je connais la définition) mais je n'attache rien de précis à la notion.
La suite du Serre sur les représentations parle allègrement de modules simples/semi-simples, idem pour les groupes de Lie, la géométrie algébrique utilise des anneaux locaux... disons que ça rend un peu dingue que je me débrouille à peu près avec la plupart des notions que j'ai apprises (j'ai failli avoir l'agreg, quand même) et celles que je rencontre partout dans ce qui m'intéresse sont les seules avec lesquelles je ne suis VRAIMENT pas à l'aise.
HT : tu le sais sûrement mais écouter Pablo n'a pas grand intérêt. En particulier, la version géométrique de Nakayama qu'il t'a présentée se déduit du Nakayama usuel et n'est aucunement une manière de l'éviter.
D'ailleurs comme tu le fais remarquer, pour comprendre "espace localement annelé" il faut au préalable comprendre "anneau local" (puisqu'un espace localement annelé est un faisceau en anneaux dont les fibres sont des anneaux locaux) : tu n'aurais pas grand intérêt à mettre la charrue devant les boeufs.
Bref, je te conseille de ne pas l'écouter et de suivre ce que les autres intervenant.e.s t'ont proposé.
tu le sais sûrement mais écouter Pablo n'a pas grand intérêt.
Bref, je te conseille de ne pas l'écouter et de suivre ce que les autres intervenant.e.s t'ont proposé.
Tu n'as pas droit de lui dire ça. Là, tu dépasses tes limites sans t'en rendre compte, et je ne vais pas t'expliquer pourquoi.
Un quart d'heure de lecture aussi suffit pour ceux qui zappe les démonstrations.
N'importe quoi !!!! On ne peux pas prétendre faire des mathématiques quand on zappe les démonstrations !!
Faire des mathématiques ça consiste à étudier les démonstrations et à savoir les refaire.
Ainsi que chercher le plus d'exercices possible avant de regarder les solutions.
Au début la pile de brouillons est vierge et la poubelle vide, à la fin la poubelle est pleine et il n'y a plus de papier dans la pile.
Tu n'as pas droit de lui dire ça. Là, tu dépasses tes limites sans t'en rendre compte, et je ne vais pas t'expliquer pourquoi.
Ce n'est pas à toi de dire qui peut dire ou faire quoi que ce soit.
Il est normal de dire que tu dis des bêtises si tu dis des bêtises, et je suis poli ....
BON. Rendons un peu de sens à ce fil de discussion. Les exercices qu'il me reste :
- le truc de Foys ;
- localiser $A[X]$ par rapport à $\{X^n \mid n \geqslant 0\}$ ;
- localiser par rapport à un idempotent ;
- localiser par rapport à un idéal premier et montrer que le localisé est un anneau local
(question subsidiaire : un anneau local peut-il toujours être "remonté" à un autre anneau dont il serait un localisé ?) ;
- me renseigner "sur le côté" plus généralement sur les anneaux locaux, bien que je ne trouve pas une tonne de choses. Il y a toujours au moins le lemme de Nakayama.
Après, les modules si j'en ai encore le courage d'ici-là.
Homo Topi : pour ta question subsidiaire : tout anneau est un localisé dans le sens où $A = S^{-1}A$ avec $S$ la partie multiplicative engendré par $1$ … hum, tu avais peut-être un autre truc en tête !
Pour l'exo de Foys ! La version enfantine est que si tu veux inverser $2$ dans $\Z$ et bien tu construis l'anneau $\Z[t] / ( 2t-1)$ (en informatique c'est ce que l'on fait (enfin moi) ! (ça peut t'aider pour ton localisé de $A[X]$ !)
J'avais en tête un truc du style "si $L$ L est un anneau local, il existe un anneau $A$ et une partie multiplicative non triviale $S \subseteq A$ tels que $L \simeq S^{-1}A$". Une "délocalisation" (:-D) triviale comme ça ne nous apprend rien...
Je réfléchissais à l'exercice sur $A[X]$, justement, je me suis dit que j'allais commencer par ça. En principe, localiser par rapport à $\{X^n \mid n \geqslant 0\}$ ça devrait revenir à juste inverser $X$, non ? Bon, dans tous les cas il faut déjà inverser $X$, donc j'atterris dans un truc qui ressemble aux fractions rationnelles. Je ne sais plus tout à fait comment ça marche, parce que j'inverse un truc qui peut être évalué en $0$, ce qui devrait poser problème.
HT : tu veux sûrement dire "une partie multiplicative qui est $A\setminus \mathfrak p$ pour un certain idéal premier $\mathfrak p$" (sinon il suffit de prendre $A= L\times \mathbb Z$ et de localiser en $(1,0)$ et ça marche pour n'importe quel anneau $L$, sans hypothèse de localité)
Evaluer en $0$ ne pose pas de problème puisque t'évalues rien :-D la différence avec les fractions rationnelles c'est qu'a priori (et a posteriori aussi si $A\neq 0$), $1+X$ n'a aucune raison d'être inversible.
Homo Topi : Oui juste inverser $X$. Penses avec le résultat de Foys quand tu veux inverser un élément $a$ d'un anneau $A$, tu créer une nouvelle variable $t$ qui prends le rôle de l'inverse en quotientant l'anneau de polynôme $A[t]$ par $at-1$ ! ça te donne directement la réponse en terme de polynômes … Mais remarque que tu ne veux pas inverser tous les polynômes !!! Juste $X$ (et ses puissances) donc pas toutes les fractions !
Pour ton idée : Non non pas de délocalisation ! Enfin, y a peut-être des trucs mais je ne sais pas si y a des choses utiles !
Oui ensuite ca dépend de ce que tu veux faire. Mais par exemple, si tu prends une $A$-algèbre $R$ et que tu te demande c'est quoi un morphisme de $A$-algèbre $ \phi : A[X] \to R$ et bien c'est juste la donnée d'un élément de $R$ (la P.U des $A$-algèbre libre (je pense que c'est comme ca qu'on dit)). Maintenant si tu veux un morphisme $\phi : A[X][Y] / (XY-1) \to R$ et bien c'est deux éléments $a,b \in R$ tel que $ab-1 = $ et comme on a unicité de l'inverse c'est juste pareil qu'un élément de $R$ inversible.
Après je ne sais pas ce que Poirot avait en tête !
Ben, c'est un sous-anneau de $A(X)$... mais vu quel quotient le définit, effectivement il y a un paquet de polynômes qui n'ont aucune raison d'avoir un inverse dans le localisé.
Mais du coup je me pose une question. Soit $R$ un anneau. Supposons que pour tous $x,y$ inversibles tels que $y \neq \pm x$, $x+y$ soit inversible. $R$ est-il forcément un corps ? J'y réfléchirai plus tard.
Quand $A$ est un anneau intègre et qu'on inverse un élément $a\in A$ non nul, l'anneau de fractions $A[a^{-1}]$ est juste le sous anneau du corps de fractions de $A$ formé des fractions de la forme $\dfrac{b}{a^n}$. Dans le cas de $k[X,X^{-1}]$, on obtient les polynômes de Laurent qui sont les $\sum_{i\in \mathbb Z} a_iX^i$ où la famille $(a_i)_{i\in \mathbb Z}$ est à support fini.
Réponses
Là on m'a donné un exemple de localisation qui fait intervenir un objet que je comprends mal pour le moment, les germes de fonctions avec leur structure d'anneau. Peut-être serait-il mieux que je demande des exemples moins "analytiques" pour le moment...
J'ai vu un peu la localisation dans $\mathbb{Z}$ et dans $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$. Pour continuer sur de l'algèbre, y a-t-il des localisations intéressantes à voir sur les anneaux de polynômes ou de matrices ?
Ce serait intéressant pour toi je pense de travailler un peu sur les anneaux locaux pour comprendre l'intérêt de localiser en un idéal premier, et plus généralement pour comprendre les méthodes du type "je sais prouver un truc pour les anneaux locaux, et je montre que je peux m'y ramener en localisant à un certain nombre d'idéaux premiers" (qui te rapprochent un peu de la géométrie algébrique)
EDIT: je viens de penser (je ne suis pas sur que ça t'ai été donné dans le fil), mais si tu tiens à continuer sur les localisations sans aller sur les anneaux locaux et que tu es un petit peu à l'aise avec les modules, il y a une continuation naturelle et importante de la théorie, avec des modules. Par exemple, étant donné un $A$-module $M$, et une partie multiplicative $S$ de $A$, tu peux t'amuser à définir un $S^{-1}A$ module $S^{-1}M$, et de le caractériser par une propriété universelle ($A$ étant un $A$-module, tu vas forcément retrouver des choses connues dans ce cas).
L'étape suivante, c'est de montrer que cette localisation, au niveau des modules, est "exacte", i.e, étant donnée une suite exacte courte $0 \to M_0 \to M_1 \to M_2 \to 0$ de $A$-modules, la suite de $S^{-1}A$ modules $0 \to S^{-1}M_0 \to S^{-1}M_1 \to S^{-1}M_2 \to 0$ est elle aussi exacte. C'est un fait qui est très souvent utilisé tacitement par exemple, pour justifier que le localisé d'un sous-module est un sous-module du localisé.
Je connais la définition d'anneau local. Quelqu'un peut-il me donner une liste des résultats importants sur les anneaux locaux ? Un "crash course" en quelque sorte.
EDIT : oui, j'ai vu l'histoire de localisation avec des modules, en cherchant un cours sur les anneaux locaux, justement.
Tu peux y jeter un œil si tu veux, mais ce n'est peut-être pas exactement ce que tu cherches.
C'est le premier lien que je trouve en tapant "introduction to commutative algebra atiyah macdonald pdf" sur google.
Je vais regarder les autres suggestions.
A commencer par le lemme de Nakayama. L'article Wiki français ne fait aucune référence aux anneaux locaux, mais celui en anglais, oui.
Après, j'avoue que ça a son style d'écriture, je peux comprendre qu'on n'accroche pas.
Si plein de formulations du lemme de Nakayama ne mentionnent pas les anneaux locaux, c'est car elles travaillent à la place avec des anneaux quelconques, et prennent l'intersection de tous les idéaux maximaux. Dans le cas local, c'est juste l'idéal maximal.
Par exemple ici: https://stacks.math.columbia.edu/tag/07RC tu peux remplacer partout $R$ par un anneau local, et $I$ par l'idéal maximal.
Chat-maths : perso, je trouve le Serre sur les représentations écrit de manière très peu sympathique. Il est vraiment très libéral (imprécis) sur les notations à plein d'endroits, et le fait qu'il écrit certains théorèmes qui sont des équivalences seulement comme des implications parce que POUR LUI l'autre implication est évidente, moi je trouve ça vraiment nul. Je n'aime vraiment pas travailler avec ce livre. Vraiment, vraiment pas. Il contient des tas d'informations, mais il faut les traduire soi-même.
Et puis à la fin, des choses sur les anneaux locaux réguliers.
Quand je dis "lire en diagonale" c'est parcourir le PDF rapidement à la recherche des mots-clés ("local ring" en l'occurence)
Mais si c'est dedans, ben, tant mieux :-D
Si tu disposes d'un peu de prérequis en théorie des faisceaux, tu peux vérifier la version géométrique du lemme de Nakayama qui te facilitera son compréhension. Elle permet de passer géométriquement du ponctuel au local. Le lemme de Nakayama permet de construire le pont pour passer du ponctuel au local.
En résumé, cette version géométro-faisceautique dit :
Soit $ (X, O_X ) $ un espace localement annelé, et $ \mathcal{F} $ est un $ O_X $ - module.
Soit $ (x, \kappa (x) \otimes \mathcal{F} ) $ la trace de $ (X , \mathcal{F} ) $ sur $ \{ x \} $ :
Si $ (x, \kappa (x) \otimes \mathcal{F} ) $ a une base ponctuel $ e_i (x) = x \otimes e_i $, ( Parce que c'est un espace vectoriel. Garde à l'esprit que si tu as un faisceau qui s'identifie à un fibré vectoriel, alors les anneaux locaux $ \mathcal{F}_x $ de ce faisceau s'identifient aux fibres $ p^{-1} (x) $ du fibré vectoriel se mettant algébriquement sous la forme : $ \kappa (x) \otimes \mathcal{F} = \mathcal{F}_x / \mathfrak{m}_{x} \mathcal{F}_x $ ), alors, $ (x, \kappa (x) \otimes \mathcal{F} ) $ se prolonge en un ouvert $ (U, \mathcal{F}_{|U} ) $ qui a pour base : $ {e_{i}}_{|U} $.
Cela se traduit en gros en disant que : $ \kappa (x) \otimes \mathcal{F} = 0 \ \ \Longrightarrow \ \ \mathcal{F}_{|U} = 0 \ \ \Longrightarrow \ \ \mathcal{F}_x = 0 $
Et ça c'est juste le lemme de Nakayama qui affirme que ( en gros ) : $ M/IM = 0 \ \Longrightarrow \ M = 0 $.
Comprends-tu maintenant le lemme de Nakayama et son interprétation géométrique ?
Pas besoin d'aller le réapprendre à nouveau dans les livres. Garde juste ça à l'esprit.
Il suffit d'une demi-heure pour les lire en entier et les comprendre, et c'est fini tes soucis que tu emmagasines en toi à propos de ce sujet.
Puisqu'un anneau local est un anneau qui n'admet qu'un seul idéal maximal, je pense que je vais juste me replonger dans les idéaux maximaux pour commencer, pour voir comment ça fonctionne et ce qu'il y a d'intéressant à dire dessus (je sais que je les ai vus une fois à la fac, mais bon, j'ai déjà dit ce que je pensais de la majorité de mes cours de fac). Après, je verrai ce qu'il se passe si on suppose qu'un anneau n'en admet qu'un seul. J'ai le lemme de Nakayama à regarder, aussi.
Le pdf que je t'ai joint suffit pour apprendre ces constructions. Regarde la partie schémas, à partir de la page : 143.
Pour apprendre les notions d'algèbre commutative sur la localisation, çi-joint, je t'insères un cours très important qui a disparu du net depuis des années :
Tu regardes :
- La notion de localisation d'anneaux entre la page : 38-45. Donc, 7 pages. Un quart d'heure de lecture suffit pour ceux qui zappe les démonstrations. Ce qui compte ce ne sont pas les démonstrations, mais saisir comment l'objet est construit et comment on le manipule. Si tu sais ce qu'est un quotient de groupe par un sous groupe tu n'auras aucun problème en localisation.
- La notion de localisation de modules entre la page : 107-110. Donc, 3 pages. Un quart d'heure de lecture aussi suffit pour ceux qui zappe les démonstrations.
Pour les anneaux locaux construit par la notion de localisation, tu regardes entre la page : 51-55. Donc, 4 pages. Un quart d'heure aussi pour cette partie. Ensuite, tu regardes la page : 19 ici : https://webusers.imj-prg.fr/~patrick.polo/M1Galois/ATGch1.pdf , et le pdf suivant : https://webusers.imj-prg.fr/~patrick.polo/M1Galois/ATG06sem2.pdf , entre la page : 12-14.
Perso, j'ai juste été pour les examens en L2 et très peu de cours en L3/M1 pour le M2 j'ai été sérieux mais j'ai trouvé que c'était beaucoup beaucoup trop évolué (c'est peut-être parce que je n'ai assisté aux cours avant :-D)
Exo :
Soit $R = \Z / p^2\Z$ je note $\pi : R \to R'$ la projection canonique avec $R' = \Z/p\Z$ , soit $a,b \in R$ tel qu'il existe $u,v \in R'$ tel que $\pi(a) u + \pi(b) v = 1$ alors il existe $\overline{u}, \overline{v} \in R$ tel que : $\overline{u} a + \overline{v} b = 1$.
... Que les cours à la fac sont les mêmes que les cours que tu apprends quant tu te mets seul devant le net. Aucune différence. Je ne comprends pas ta question Goléon.
Pour ton exo, il suffit d'établir ( si je ne m'abuse ) que, $ ( \overline{a} ) + ( \overline{b} ) = R' \ \Longrightarrow (a)+(b) = R $, en remarquant que l'image inverse d'un égaliseurs par une surjection est un égaliseur. Non ?
Edit :
Voir ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Égaliseur_(mathématiques)
Edit :
Mes chers modérateurs. Veuillez me corriger le défaut qui empêche le bon fonctionnement du lien que j'ai inseré. Merci.
Disons que j'ai certains cours où je ne comprends pas où le temps est passé. On a fait un semestre sur les groupes, et un semestre sur les représentations. Là j'ai écrit beaucoup, vu plein de choses, les cours n'étaient pas particulièrement digestes mais au moins ils étaient bien fournis, et en bossant soi-même un peu on finissait pas comprendre ce que le prof avait raconté. J'ai eu un cours sur "les anneaux" (anneaux, idéaux, modules, polynômes, corps, bases sur les extensions... supposément) qui est complètement vide. A se demander comment j'ai compris quoi que ce soit au cours de théorie de Galois qui venait après.
Et je pense que le fait que ce cours-là en particulier était très mauvais est un gros problème pour moi : beaucoup de choses qui m'ont l'air intéressantes finissent toujours par me bloquer à cause d'une notion que j'aurais dû apprendre dans ce cours-là et que je n'ai pas encore rattrapée : modules simples/semi-simples, idéaux principaux/maximaux, bimodules, produits tensoriels, localisation... j'ai à chaque fois une idée très vague du truc (je connais la définition) mais je n'attache rien de précis à la notion.
La suite du Serre sur les représentations parle allègrement de modules simples/semi-simples, idem pour les groupes de Lie, la géométrie algébrique utilise des anneaux locaux... disons que ça rend un peu dingue que je me débrouille à peu près avec la plupart des notions que j'ai apprises (j'ai failli avoir l'agreg, quand même) et celles que je rencontre partout dans ce qui m'intéresse sont les seules avec lesquelles je ne suis VRAIMENT pas à l'aise.
Regarde tes défauts avant de regarder ceux des autres.
D'ailleurs comme tu le fais remarquer, pour comprendre "espace localement annelé" il faut au préalable comprendre "anneau local" (puisqu'un espace localement annelé est un faisceau en anneaux dont les fibres sont des anneaux locaux) : tu n'aurais pas grand intérêt à mettre la charrue devant les boeufs.
Bref, je te conseille de ne pas l'écouter et de suivre ce que les autres intervenant.e.s t'ont proposé.
Tu n'as pas droit de lui dire ça. Là, tu dépasses tes limites sans t'en rendre compte, et je ne vais pas t'expliquer pourquoi.
N'importe quoi !!!! On ne peux pas prétendre faire des mathématiques quand on zappe les démonstrations !!
Faire des mathématiques ça consiste à étudier les démonstrations et à savoir les refaire.
Ainsi que chercher le plus d'exercices possible avant de regarder les solutions.
Au début la pile de brouillons est vierge et la poubelle vide, à la fin la poubelle est pleine et il n'y a plus de papier dans la pile.
Cordialement,
Rescassol
Ce n'est pas à toi de dire qui peut dire ou faire quoi que ce soit.
Il est normal de dire que tu dis des bêtises si tu dis des bêtises, et je suis poli ....
Cordialement,
Rescassol
J'essaye d'esquisser ta personnalité ... 8-)
Et au passage, ce fil de discussion sert à autre chose qu'à "esquisser ma personnalité".
- le truc de Foys ;
- localiser $A[X]$ par rapport à $\{X^n \mid n \geqslant 0\}$ ;
- localiser par rapport à un idempotent ;
- localiser par rapport à un idéal premier et montrer que le localisé est un anneau local
(question subsidiaire : un anneau local peut-il toujours être "remonté" à un autre anneau dont il serait un localisé ?) ;
- me renseigner "sur le côté" plus généralement sur les anneaux locaux, bien que je ne trouve pas une tonne de choses. Il y a toujours au moins le lemme de Nakayama.
Après, les modules si j'en ai encore le courage d'ici-là.
Pour l'exo de Foys ! La version enfantine est que si tu veux inverser $2$ dans $\Z$ et bien tu construis l'anneau $\Z[t] / ( 2t-1)$ (en informatique c'est ce que l'on fait (enfin moi) ! (ça peut t'aider pour ton localisé de $A[X]$ !)
Je réfléchissais à l'exercice sur $A[X]$, justement, je me suis dit que j'allais commencer par ça. En principe, localiser par rapport à $\{X^n \mid n \geqslant 0\}$ ça devrait revenir à juste inverser $X$, non ? Bon, dans tous les cas il faut déjà inverser $X$, donc j'atterris dans un truc qui ressemble aux fractions rationnelles. Je ne sais plus tout à fait comment ça marche, parce que j'inverse un truc qui peut être évalué en $0$, ce qui devrait poser problème.
Evaluer en $0$ ne pose pas de problème puisque t'évalues rien :-D la différence avec les fractions rationnelles c'est qu'a priori (et a posteriori aussi si $A\neq 0$), $1+X$ n'a aucune raison d'être inversible.
Pour ton idée : Non non pas de délocalisation ! Enfin, y a peut-être des trucs mais je ne sais pas si y a des choses utiles !
Goleon : donc j'introduis une nouvelle indéterminée $Y$ et je regarde $A[X][Y]/(XY-1)$, c'est tout ?
Après je ne sais pas ce que Poirot avait en tête !
Mais du coup je me pose une question. Soit $R$ un anneau. Supposons que pour tous $x,y$ inversibles tels que $y \neq \pm x$, $x+y$ soit inversible. $R$ est-il forcément un corps ? J'y réfléchirai plus tard.