Localisation (anneaux)

Bon, tu es d'accord que, en tant que matrices (sans impliquer $M$ pour le moment), on a $N(I_n-Y) = dI_n$, avec $N= {}^{t\!}\mathrm{com}(I_n-Y)$ ? Je vais noter $R=I_n-Y$

Admettant ça, on va le réécrire : Pour tous $i,j,$ on a $\sum_k n_{ik}r_{kj} = d\delta_{ij}$

Rappelons nous, au passage, que $\sum_q y_{pq}x_q = x_p$ donc $\sum_q r_{pq}x_q = \sum_q (\delta_{pq}-y_{pq})x_q = x_p - x_p = 0$. C'est ce qu'on aura envie de noter $RX = 0$ si on avait le droit. Moi je dis qu'on n'a pas besoin (en tout cas pour ici) de s'inventer un formalisme où on a le droit, puisque ce sont des calculs.

Je vais calculer $\sum_{k,q} n_{pk}r_{kq}x_q$ de deux manières différentes. D'un côté, je sépare en deux sommes de cette manière : $\sum_k n_{pk}\sum_q r_{kq}x_q$ . Or $\sum_q r_{kq}x_q = 0$, par ce que j'ai dit plus haut. Donc cette somme vaut $0$.

De l'autre, je sépare d'une autre manière : $\sum_q (\sum_k n_{pk}r_{kq} )x_q$. Or $\sum_k n_{pk}r_{kq}= \delta_{pq}d$, par ce que j'ai dit plus haut. Donc notre somme $= \sum_q d\delta_{pq} x_q = dx_p$.
Donc $dx_p = 0$.

C'est ce que j'essayais de dire en disant "c'est juste du calcul" : l'associativité de la multiplication des matrices c'est un calcul purement formel qui se fait en développant des sommes et en multipliant par des scalaires ; or tout ça on peut le faire dans $M$, donc aucun souci : c'est ce que le calcul que je viens de faire montre.

Ces trucs-là sont tous très faciles à montrer, pour ce faire il faut juste que tu aies l'intuition de ce qui se passe (si tu cites ce théorème en mode "il faudrait montrer que" et pas "il est évident que", je crois en déduire que tu n'as pas -encore- ladite intuition). Pour l'obtenir, tu devrais vraiment regarder des ensembles de sous-modules et de modules quotients et voir ce qui se passe à chaque fois.

Comprendre que quand on dit "$M/N$ c'est comme $M$ mais on a décrété $N=0$", c'est vraiment ça etc.

On a $M \subset (IM + N)$, donc tout élément de $M$ s'écrit sous la forme $x=\sum_{j=1}^m i_jx_j + n$ avec $i_j \in I, x_j \in M, n \in N$.

La classe de $x$ modulo $N$ vaut donc la classe $\overline{\sum_{j=1}^m i_jx_j}$ de $\sum_{j=1}^m i_jx_j$, qui vaut $\sum_{j=1}^m i_j \overline{x_j}$ (par compatibilité de la multiplication externe avec le passage au quotient par un sous-module). On a donc bien que tout élément de $N'$ est de la forme voulue, soit $N' \subset IN'$.

"se relève" : si tu as une base $e_1,...,e_n$ de $M/\mathfrak m M$ en tant que $R/\mathfrak m$-espace vectoriel, alors tu peux la relever en $x_1,...,x_n$ tels que $\pi(x_i) = e_i$, où $\pi :M\to M/\mathfrak m M$ est la projection canonique, et tels que $x_1,...,x_n$ est un ensemble minimal de générateurs de $M$

(en fait c'est plus fort que ça : n'importe quel relèvement $x_1,...,x_n$ est un tel ensemble minimal de générateurs. )

C'est ça (la phrase que j'ai écrite après ma traduction)

Pourquoi relèvement ? Parce que tu pars d'éléments de $M/\mathfrak m M$ et tu les remontes à $M$ dans ce diagramme : $\xymatrix{& M \ar[d] \\
n\ar[r] \ar@{.>}[ru] & M/\mathfrak m M}$