Trace

Bonjour,

Récurrence sur $n$... simple idée.

Pour la récurrence, on peut commencer par démontrer que pour tout $(A,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$, on a
$$\textrm{Tr}((A+B)^p)=\textrm{Tr}(A^p)+\textrm{Tr}(B^p) [p].$$
Si on utilise l'idée de Poirot, je trouve qu'il est plus simple de trigonaliser dans une extension de $\mathbb{F}_p$ la réduction de la matrice $A$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{F}_p)$.

Comparer les $(n-1)p$-ièmes coefficients des polynômes $\det(XI_n - M)^p$ et $\det(X^pI_n - M^p) \mod p$.

Bonjour,

Il y a aussi cet argument, qui n'est pas le plus simple, mais qui peut-être séduira ceux qui affectionnent les actions de groupes et souhaitent ne pas trop s'aventurer à l'extérieur de $\Z$.
Il exige quelques notations préalables:
$ \mathcal A = (A_{ij} )_{1\leqslant i,j \leqslant n} \in \mathcal M_n (\Z), \quad X:= \Z/p\Z=\{ \overline 0, \overline 1,\cdots \overline{p-1} \},\quad E:=[\![1;n]\!]^X, \quad \forall \alpha \in E, \quad P_{\alpha}:= \displaystyle \prod _{k =0 } ^{p-1} A _{\alpha(k) \alpha(k+1)}$.
L'expression de $\text{Tr}(\mathcal A^p)$ en fonction des coefficients de $\mathcal A$ est alors: $\:\: \text{Tr}(\mathcal A^p) = \displaystyle \sum _{\alpha \in E} P_{\alpha}.$
Le groupe $G = (\Z/p\Z , +)\:$ opère sur $E\:$ par: $\quad \forall (g,\alpha,k) \in G\times E\times X, \:\: (g.\alpha )(k)= \alpha (k+g).$
Dans cette action, l'ensemble $\Omega$ des orbites de $E$ est constitué de $n$ orbites de cardinal $1$ (ce sont les applications constantes de $X$ dans $[\![1;n]\!])$
et de $\dfrac {n^p-n}p$ orbites de cardinal $p.$ (c'est d'ailleurs une des multiples preuves de la congruence $n^p\equiv n \mod p$)
Or la fonction $\alpha \longmapsto P_{\alpha} $ est constante sur chacune de ces orbites. Pour $\omega \in \Omega$, désignons par $P_{\omega}$ la valeur prise par $P$ sur $\omega.$
$\text{Tr}( \mathcal A^p) =\displaystyle \sum_{\omega \in \Omega} \sum _{\alpha \in \omega} P_{\alpha}= \sum _{i=1}^n A_{ii}^p + p\sum_{{^\#}\omega = p} P_{\omega} \implies \text{Tr}( \mathcal A^p) \equiv \sum _{i=1}^n A_{ii}^p \equiv \text{ Tr}(\mathcal A )\mod p.$