Supplémentaire d’un espace vectoriel

Bonsoir, Merci @gb je n'ai pas compris votre idée.

@Math Coss ,je connais ce théorème mais j’ai pensé qu’on l’utilisait uniquement en dimension finie ...

@math coss , c’est donc l’indépendance des trois formes linéaires qui assure que la dimension des supplémentaires vaut 3?

Voici où j'en suis avec la résolution de mon exercice.


Considérons les 3 formes linéaires suivantes $$

\begin{array}{ccccc}
\phi_{1} : & E & \to & \mathbb{R} \\
& f & \mapsto & f(0) \\
\end{array}, \qquad

\begin{array}{ccccc}
\phi_{2} : & E & \to & \mathbb{R} \\
& f & \mapsto & f'(0) \\
\end{array} \qquad

\text{et} \qquad

\begin{array}{ccccc}
\phi_{3} : & E & \to & \mathbb{R} \\[-2mm]
& f & \mapsto & \int_{0}^{1} f \, \\
\end{array}.

$$ $F$ est l'intersection des noyaux des formes linéaires, c'est donc un $K$-espace vectoriel de $E$.
Cherchons un supplémentaire de $F$.
Démarche à la recherche du supplémentaire.
Déterminons des fonctions de $E$ qui sont dans le noyau de $\phi_{1} $ et $\phi_{2}$ mais qui n'appartiennent pas à $\ker(\phi_{3})$.

On constate que les fonctions $f_{1},f_{2},f_{3}$ définies par $f_{1}(x)=x, \ f_{2}(x)=x^{2}$ et $f_{3}(x)=x^{3}$ pour $x \in [0;1]$ vérifient nos conditions initiales.
Posons $G=vect(f_{1},f_{2},f_{3})$. $G$ est bien un sous-espace vectoriel de $E$. De plus, la famille de vecteurs qui engendre $G$ est libre et génératrice, c'est donc une base de $G$, on en déduit que $\dim(G)=3$.

Je veux à présent montrer que $G$ est un supplémentaire de $F$ dans $E$
Soit $u \in E$
Supposons qu'il existe $(f,g) \in F*G$ tel que $u=f+g$. comme $g \in G$ , par définition, on a $g=a.f_{1}+b.f_{2}+c.f_{3}$ où $a,b,c \in \mathbb{K}$.
Ainsi, pour tout $x \in [0;1]$ , on a $u(x)=f(x)+a.f_{1}(x)+b.f_{2}(x)+c.f_{3}(x)$.
on a $u'(0)=a$ et $b+c=\int_{0}^{1} u \ -u'(0)$ , je suis un peu bloqué car je n'arrive pas à trouver une troisième équation de résoudre un système en inconnues $c$ et $b$.

Puis-je avoir de l'aide ?

Merci @gb une fonction constante comme 1 résout bien mon problème, Merci.