Exercice sur les déterminants

hicham000
hicham000
dans Algèbre
Bonjour
Merci de me guider svp pour résoudre cet exercice.

Soit A€Mr(K) (avec r >=2 et car(K) # 2) telle que pour tout X appartenant à Mr(K), det(A + X) = det(A) + det(X).
Montrer que A = 0.

Merci d'avance.
Bonne journée.

Réponses

  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Je ne sais pas ce que sont tes points d’interrogation (appartenance ou non, différent, quantificateurs…)
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Si j'avais cet exercice à faire, j'essaierais de prendre pour valeur de X chacun des éléments de la base canonique de Mr(K) (matrices dont un seul coefficient est non nul et égal à 1)).

    Cordialement.
  • gb
    gb
    Bonjour,

    Il suffit, me semble-t-il, de raisonner par l'absurde, donc de supposer \(A\) non nulle, et d'utiliser une matrice\(X\) telle que :
    1. \(A+X\) est de déterminant nul ;
    2. une seule des matrices \(X\) et \(A\) est de déterminant nul.
  • Ritchie
    Ritchie
    [edité] J'avais mal lu l'énoncé.

    Je me corrige : On montre facilement que $\det(A)=0$.

    Si $A$ est non nulle, son rang est supérieur ou égal à $1$.

    Puisqu'on est sur un corps, $A = PJ_s Q$ où $s$ est le rang de $A$ et $J_s$ la matrice par blocs habituelle, "diagonale par blocs" avec l'identité de taille $s$ est des 0 partout ailleurs.

    L'énoncé est alors équivalent à dire que $\det(J_r+\tilde X) = \det(\tilde X)$ pour toute matrice $\tilde X$. En particulier, pour $\tilde X = I_r - J_s$, on doit obtenir une contradiction.

    Cordialement,

    Ritchie
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