Irréductibilité dans $F_p[X]$
Bonjour...
soit $p$ un nombre premier et $P_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n$ et irréductibles dans $F_p[X].$
Comment calculer le cardinal de $ P_1 ,P_2$ et $P_3$
Voici ma tentative
${P_1} = \{ x + \bar 0,\ldots,x + \bar p\}.$
$card(P_1)=p.$
${P_2} = \{x^2+ px + q \in irr({F_p})\mid p,q \in F_p \}.$
comment discuter pour calculer $ card(P_2)=???$
Même avec $P_3$.
$card{P_3}=??$
Et est-ce qu'il existe une méthode générale ?
soit $p$ un nombre premier et $P_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n$ et irréductibles dans $F_p[X].$
Comment calculer le cardinal de $ P_1 ,P_2$ et $P_3$
Voici ma tentative
${P_1} = \{ x + \bar 0,\ldots,x + \bar p\}.$
$card(P_1)=p.$
${P_2} = \{x^2+ px + q \in irr({F_p})\mid p,q \in F_p \}.$
comment discuter pour calculer $ card(P_2)=???$
Même avec $P_3$.
$card{P_3}=??$
Et est-ce qu'il existe une méthode générale ?
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Réponses
$$\frac{1}{n} \sum_{d \mid n} \mu(d) p^{n/d}.$$
Par exemple, en reprenant tes notations, $\left|P_1 \right| = p$, $\left|P_2 \right| = \frac{1}{2}p(p-1)$ et $\left|P_3 \right| = \frac{1}{3}p \left(p^2-1 \right)$.
Edit. Corrections des cardinaux de $P_2$ et $P_3$ après les messages ci-dessous, que je remercie.
Il devrait donc y avoir $\frac{p-1}{2} \times (p-1)$ polynômes irréductibles modulo $p$: $\frac{p-1}{2}$ façon de choisir $v$ et $p-1$ façon de choisir $u$.
Bien évidemment dans le cas où $p>2$.
A+
F.
Il devrait donc y avoir $\frac{p-1}{2} \times (p-1)$ polynômes irréductibles modulo $p$: $\frac{p-1}{2}$ façon de choisir $v$ et $p-1$ façon de choisir $u$.
Pourquoi n'y aurait-il pas \(p\) façons de choisir \(u\)?
On obtiendrait ainsi \(\frac{p(p-1)}2\) polynômes unitaires irréductibles modulo \(p\), ce qui n'est pas en accord avec la valeur fournie par noix de totos .
Il me semble qu'il y a un problème avec la forme de Noix de Toto, certainement dans le calcul de la fonction de Moebius !
Pour $P_3$ je trouve $\frac{p^3-p}{3}$. Il y a $p^3$ éléments dans $\mathbb{F}_{p^3}$ dont $p$ sont de degré $1$ et par association du polynôme minimal (on divise par $3$).
Pour clarifier les choses : c'est fait en détails. dans le Gozard, Théorie de Galois.
- il y a $p^2$ couples d'éléments $(u,v)\in\mathbf{F}_p^2$, soit autant de polynômes $x^2+ux+v$ unitaires de degré $2$ ; parmi eux...
- il y a $p$ éléments $a\in\mathbf{F}_p$, soit autant de polynômes qui ont une racine double $(x-a)^2$ ;
- il y a $p(p-1)/2$ façons de choisir deux éléments $\{a,b\}$ dans $\mathbf{F}_p$, soit autant de polynômes qui ont deux racines distinctes $(x-a)(x-b)$.
En fin de compte, il y a $p^2-p-\dfrac{p(p-1)}{2}=\dfrac{p(p-1)}2$ polynômes irréductibles de degré $2$.Je corrige dans le message initial.
On note $N_{n,p}$ le nombre cherché, et soit $P \in \mathbb{F}_p[X]$ un polynôme unitaire. Puisque $P$ peut être factorisé en un produit de polynômes unitaires irréductibles dans $\mathbb{F}_p[X]$, on a
\begin{align*}
\sum_{\substack{P \in \mathbb{F}_p[X] \\ P \, \textrm{unitaire}}} T^{\deg P} &= \prod_{\substack{Q \in \mathbb{F}_p[X] \\ P \, \textrm{unitaire} \, \textrm{irréductible}}} \left( 1 + T^{\deg P} + T^{2 \deg P} + \dotsb \right) \\
&= \prod_{\substack{Q \in \mathbb{F}_p[X] \\ P \, \textrm{unitaire} \, \textrm{irréductible}}} \left( 1 - T^{\deg P} \right)^{-1} \\
&= \prod_{d=1}^\infty \left( 1 - T^d \right)^{-N_{d,p}}.
\end{align*}
Comme le nombre de polynômes unitaires de degré $n$ est égal à $p^n$, on en déduit
$$\sum_{n=1}^\infty p^n T^n = \prod_{d=1}^\infty \left( 1 - T^d \right)^{-N_{d,p}}$$
et en prenant les logarithmes, il vient
$$\log (1-pT) = \sum_{d=1}^\infty N_{d,p} \log (1-T^d) = \sum_{d=1}^\infty N_{d,p} \sum_{m=1}^\infty m^{-1} T^{md}$$
puis, en posant $n=md$ dans la dernière somme
$$\sum_{n=1}^\infty n^{-1} (pT)^n = \sum_{n=1}^\infty n^{-1} T^{n} \sum_{d \mid n} d N_{d,p}$$
et la comparaison des coefficients de $T^n$ fournit
$$p^n = \sum_{d \mid n} d N_{d,p}.$$
La formule donnée plus haut s'ensuit alors par inversion de Möbius.
j'imagine que toutes les égalités ci-dessus se passent dans un anneau de séries formelles... si j'ai bien compris, on peut dans cet anneau faire des produits dénombrables de série, la fonction $\log(1-T)$ n'est du coup qu'une notation pour la série idoine, mais elle vérifie tout de même des propriétés algébrique "élargies" (elle transforme le $\log$ d'un produit dénombrable en somme).
Grosso modo, l'idée est donc que dans cet anneau tout se passe comme avec les séries usuelles à ceci près que l'on n'a pas à s'inquiéter des histoires de convergence ?
A+
F.
Dans tous les cas, j'aurais (re-)découvert, la formule d'inversion de Möbius !
Merci !
A+
F.
Déf. Soit $E$ un ensemble non vide, $F : E \to E$ une application. Un élément de $E$ est dit $n$-périodique si $F^n(x)=x$, et on note $\textrm{Per}_n(F)$ l'ensemble des points $n$-périodiques de $F$. Une suite d'entiers $(u_n)$ est dite réalisable s'il existe un couple $(E,F)$ telle que, pour tout $n \in \Z_{\geqslant 1}$, on ait $u_n = \left| \textrm{Per}_n(F) \right|$.
Ex. On montre que les suites $u_n = a^n$ et $u_n = \textrm{tr}(A^n)$ sont réalisables, où $a \geqslant 1$ est un entier fixé et $A$ est une matrice à coefficients entiers naturels.
Ces suites possèdent la propriété curieuse suivante [Bor06, page 127].
Th. Si $u=(u_n)$ est une suite réalisable, alors, pour tout $n \in \Z_{\geqslant 1}$, on a
$$0 \leqslant (u \star \mu)(n) \equiv 0 \pmod n.$$
Comme d'habitude, le produit de convolution de Dirichlet de deux fonctions arithmétiques $f$ et $g$ est donné par $(f \star g)(n) := \sum_{d \mid n} f(d)g(n/d)$.
Ce résultat montre par exemple que :
(i) L'identité de ce fil est bien définie (i.e. le nombre $N_{n,p}$ est bien entier) ;
(ii) Utilisé avec $n=p$ premier et $A$ une matrice entière, on retrouve immédiatement le petit théorème de Fermat pour les matrices, i.e. $\textrm{tr}(A^p) \equiv \textrm{tr}(A) \pmod p$.
Référence.
[Bor06] https://www.amazon.fr/Thèmes-darithmétique-Avec-exercices-corrigés/dp/2729827145/ref=sr_1_1?__mk_fr_FR=ÅMÅŽÕÑ&keywords=thèmes+d'arithmétique&qid=1576347454&sr=8-1