Matrice définie positive
dans Algèbre
Bonjour, ma question est simple: pourquoi dans la définition d'une matrice définie positive, on impose le fait qu'elle soit symétrique ? Je conçois qu'on veuille in fine s'intéresser aux formes bilinéaires symétriques, mais l'un n'empêche pas l'autre. Est-ce que c'est juste qu'il n'y a pas de propriétés intéressantes si l'on ne demande pas que la matrice soit symétrique ?
Cela rejoint un peu l'interrogation que j'avais sur le fait qu'on demandait que les anneaux principaux soient systématiquement intègres, et j'avais cru comprendre que c'était une question de "rien de bien intéressant en toute généralité".
Merci d'avance !
Cela rejoint un peu l'interrogation que j'avais sur le fait qu'on demandait que les anneaux principaux soient systématiquement intègres, et j'avais cru comprendre que c'était une question de "rien de bien intéressant en toute généralité".
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Réponses
La forme quadratique d’une matrice $A$ est celle de la matrice ${A+A^t\over 2}$, n’est-ce pas ? Cette dernière matrice est symétrique.
Quand on cherche des trucs sur la définie positivité, on s’intéresse à une forme quadratique.
La « définie positivité » est une propriété des formes quadratiques, et les matrices représentant les formes quadratiques sont symétriques.
Comme on introduit la « définie positivité » dans le cadre des formes quadratiques, on ne la considère que dans le cas de matrices symétriques.
On rencontre bien évidemment des matrices à valeurs propres strictement positives en dehors des formes quadratiques, mais un peu comme dans le cas des anneaux non intègres dont tous les idéaux sont principaux, il n'y a « rien de bien intéressant en toute généralité ».Si cela te fait plaisir tu peux définir ces objets et leur donner un nom, c'est ce que Jean Dieudonné appelait « les mathématiques du petit déjeuner ».
Les vraies mathématiques, c'est l'inverse : un truc te passe par la tête pendant que tu lis son journal en prenant ton petit déjeuner. Tu déroules beaucoup de pages de calculs et tu t'apercois que ça a de l'intérêt. Bingo ! tu poses une jolie définition, tu énonces de jolies théorèmes et tu publies.
"Oui mais comment sait-on ici que ça ne sert à rien ? " parce que des gens expérimentés te le disent ... Et comme c'est à eux que tu as posé la question, ce serait bizarre de ne pas te fier à leur expérience.
Mais tu peux parfaitement décider que "ça sert" et à ce moment-là, c'est à toi de te débrouiller pour le montrer. Mais il vaut mieux alors avoir des idées.
Bonne réflexion personnelle !
Mais là ça c'est si on a un certain objectif en tête non ? Je veux dire, quand on veut calculer les puissances de matrices, c'est plutôt la diagonalisation vers laquelle on va se retourner. Quel est l'objectif ici qui nous pousse à nous s'intéresser à cette relation d'équivalence ? Pourquoi la définition "toutes les valeurs propres sont strictement positives" est beaucoup plus intéressante pour cet objectif ?
Oui enfin il y avait peut-être des raisons plus profondes qui m'échappaient.
Oui mais là je ne parle pas forcément de forme quadratique. Je pensais aux matrices.
Suivant la façon d'utiliser la matrice, on va s'intéresser aux valeurs des valeurs propres, ou seulement à leur signe : dans certains domaines c'est la relation de similitude des matrices qui intervient (matrices carrées), dans d'autres domaines c'est la relation de congruence (matrices symétriques) ; parfois on se contente seulement de matrices équivalentes (matrices pas nécessairement carrées).