Fonction zeta de Hurwitz
Bonjour
J'ai une question concernant cette fonction généralisée à 3 paramètres dont le premier est l'ordre de la dérivée.
Sous MAPLE, lorsque le 3 ème paramètre est positif, le logiciel renvoie une forme fermée.
Mais lorsque le 3 ème paramètre est négatif, il ne ressort rien.
Il n'y a pas de formule pour les nombres négatifs ?
Merci d'avance.
[Adolf Hurwitz (1859-1919) mérite le respect de son patronyme. AD]
J'ai une question concernant cette fonction généralisée à 3 paramètres dont le premier est l'ordre de la dérivée.
Sous MAPLE, lorsque le 3 ème paramètre est positif, le logiciel renvoie une forme fermée.
Mais lorsque le 3 ème paramètre est négatif, il ne ressort rien.
Il n'y a pas de formule pour les nombres négatifs ?
Merci d'avance.
[Adolf Hurwitz (1859-1919) mérite le respect de son patronyme. AD]
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Réponses
Si on tape zeta (1,-2, 4/3) le logiciel renvoie une forme formée en fonction de zeta (1,-2, 1/3).
Si je veux zeta (1,-2, -4/3) eh bien il s'affiche uniquement zeta (1,-2, -4/3).
Donc avec des nombres négatifs, MAPLE ne sait pas calculer ?
Pour $a > 0$ on utilise $(n+a)^{-s} = \exp(-s \ln (n+a))$ mais pour $a < 0$ il y a ambiguïté sur la branche de $\log(n+a)$ qu'il faut choisir et aucune de ces branches ne préserve les propriétés usuelles, nombreuses et non-triviales de $\partial_s^k\sum_{n\ge 0} (n+a)^{-s}$ (équation fonctionnelle, représentations intégrales, distributions des zéros, asymptotique, valeurs particulières, etc...)
Donc en général on impose que $a > 0$ et pour $a\in \C$ on laisse les gens se débrouiller (en se ramenant à $Li_s(z)$ par prolongement analytique, sachant que $a > 0$ correspond à $|z|=1$)