Équation dans $\mathbb{F}_p$
Réponses
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Essaie de regarder ce qui se passe selon si a et/ou b sont eux-mêmes des carrés ou non.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Bonjour,
Quel est le cardinal de \(\lbrace ax^2 \mathbin{;} x\in\mathbf{F}_p\rbrace\) ?
Quel est le cardinal de \(\lbrace 1-by^2 \mathbin{;} y\in\mathbf{F}_p\rbrace\) ? -
Réponse : chacun de ces deux ensembles a $(p-1)/2$ comme cardinal,non ?
Je ne vois pas comment poursuivre -
Tu as perdu $0$ ?
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Oui, alors ces deux ensembles sont de cardinal $(p+1)/2$
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Mézalor, le cardinal de $\mathbb{F}_p$ est ?Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Deux sous-ensembles de \(\mathbf{F}_p\) qui ont \((p+1)/2\) éléments chacun ne sont-ils pas en position particulière ?
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C'est $p$... on veut trouver $x$ dans le premier et $y$ dans le second tels que $(x,y)$ soit solution de notre équation. Je ne vois pas
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AH bah oui , ils s'intersecent !! donc c'est bon !
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Et si $p=2$, au fait ?
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La solution explicite c'est que si $-b/a=c^2\in F_p$ est un carré alors on a $x^2-(-b/a) y^2= (x+cy)(x-cy)$ et comme on peut choisir $x+cy,x-cy$ comme on veut on a $p-1$ solutions $(x+cy)(x-cy)=1/a$.
Sinon $-b/a$ n'est pas un carré donc $c = \sqrt{-b/a} \in F_{p^2}$ et $(x+cy)^p = x^p + c^py^p = x-cy$ et $$x^2-(-b/a)y^2 = (x+cy)(x+cy)^p= (x+cy)^{p+1}$$ Soit $d=a^{-1/(p+1)}$, l'ordre de $a$ divise $p-1$ donc l'ordre de $d$ divise $(p+1)(p-1)=p^2-1$ donc $d\in F_{p^2}$, soit $\zeta\in F_{p^2}$ d'ordre $p+1$, on trouve $p+1$ solutions $\zeta^l d\in F_{p^2}$ de l'équation $z^{p+1} = d^{p+1}$ toutes de la forme $\zeta^l d= x+cy\in F_{p^2}=F_p+c F_p$.
C'est l'histoire des split/non-split torus. -
La première ligne de ma réponse est élémentaire et résout la moitié des cas, la deuxième partie demande de savoir construire $F_{p^2}$ en ajoutant $\sqrt{-b/a}$ à $F_p$
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Dd Kg écrivait:
Les carrés dans $\mathbb{F}_p^*$ forment un sous-groupe d'ordre $(p-1)/2$.
Comment en déduire que …
Je ne vois en quoi le résultat établi par reuns est déduit de la propriété indiquée par Dd Kg pour les carrés de $\mathbb{F}_p^*$
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Bonjour!
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