Les carrés dans $\mathbb{F}_p^*$ forment un sous-groupe d'ordre $(p-1)/2$.
Comment en déduire que l'équation $ax^2+by^2=1$, pour $a,b$ non nuls dans $\mathbb{F}_p$, admet toujours au moins une solution $(x,y)\in\mathbb{F}_p^2$ ?
La solution explicite c'est que si $-b/a=c^2\in F_p$ est un carré alors on a $x^2-(-b/a) y^2= (x+cy)(x-cy)$ et comme on peut choisir $x+cy,x-cy$ comme on veut on a $p-1$ solutions $(x+cy)(x-cy)=1/a$.
Sinon $-b/a$ n'est pas un carré donc $c = \sqrt{-b/a} \in F_{p^2}$ et $(x+cy)^p = x^p + c^py^p = x-cy$ et $$x^2-(-b/a)y^2 = (x+cy)(x+cy)^p= (x+cy)^{p+1}$$ Soit $d=a^{-1/(p+1)}$, l'ordre de $a$ divise $p-1$ donc l'ordre de $d$ divise $(p+1)(p-1)=p^2-1$ donc $d\in F_{p^2}$, soit $\zeta\in F_{p^2}$ d'ordre $p+1$, on trouve $p+1$ solutions $\zeta^l d\in F_{p^2}$ de l'équation $z^{p+1} = d^{p+1}$ toutes de la forme $\zeta^l d= x+cy\in F_{p^2}=F_p+c F_p$.
La première ligne de ma réponse est élémentaire et résout la moitié des cas, la deuxième partie demande de savoir construire $F_{p^2}$ en ajoutant $\sqrt{-b/a}$ à $F_p$
Dd Kg écrivait:
Les carrés dans $\mathbb{F}_p^*$ forment un sous-groupe d'ordre $(p-1)/2$.
Comment en déduire que …
Je ne vois en quoi le résultat établi par reuns est déduit de la propriété indiquée par Dd Kg pour les carrés de $\mathbb{F}_p^*$
Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Quel est le cardinal de \(\lbrace ax^2 \mathbin{;} x\in\mathbf{F}_p\rbrace\) ?
Quel est le cardinal de \(\lbrace 1-by^2 \mathbin{;} y\in\mathbf{F}_p\rbrace\) ?
Je ne vois pas comment poursuivre
-- Schnoebelen, Philippe
Sinon $-b/a$ n'est pas un carré donc $c = \sqrt{-b/a} \in F_{p^2}$ et $(x+cy)^p = x^p + c^py^p = x-cy$ et $$x^2-(-b/a)y^2 = (x+cy)(x+cy)^p= (x+cy)^{p+1}$$ Soit $d=a^{-1/(p+1)}$, l'ordre de $a$ divise $p-1$ donc l'ordre de $d$ divise $(p+1)(p-1)=p^2-1$ donc $d\in F_{p^2}$, soit $\zeta\in F_{p^2}$ d'ordre $p+1$, on trouve $p+1$ solutions $\zeta^l d\in F_{p^2}$ de l'équation $z^{p+1} = d^{p+1}$ toutes de la forme $\zeta^l d= x+cy\in F_{p^2}=F_p+c F_p$.
C'est l'histoire des split/non-split torus.
Je me disais bien que c'était la vraie question que se posait Dd Kg !
Les carrés dans $\mathbb{F}_p^*$ forment un sous-groupe d'ordre $(p-1)/2$.
Comment en déduire que …
Je ne vois en quoi le résultat établi par reuns est déduit de la propriété indiquée par Dd Kg pour les carrés de $\mathbb{F}_p^*$