Je ne suis pas sûr de comprendre. Je n'ai pas encore vu les notions de formes hermitiennes. Je pensais utiliser la caractérisation par le produit scalaire xtBx et montrer la positive en utilisant la positivite de xtAx.
$D=\mathrm{diag}(\frac{1}{\sqrt{a_{11}}},\ldots,\frac{1}{\sqrt{a_{nn}}} )$ entraine $B=DAD$ et donc $x^tBx=(Dx)^tA(Dx)>0.$ $B$ definie positive implique que la sous matrice $\left[\begin{array}{cc}1&b_{12}\\b_{12}&1\end{array}\right]$ est aussi definie positive et donc de determinant positif strictement. Le 2 est une consequence de la concavite de la fonction $\lambda\mapsto \log \lambda$. Mon tout est l\application du 2 aux valeurs propres de $B$
Je n'ai pas très bien compris comment il faut utiliser la question 2 sur les valeurs propres de B ?
Merci beaucoup pour le reste j'ai bien compris maintenant.
Réponses
Dans la base canonique \((e_1,\dotsc,e_n)\) de \(\mathbf{C}^n\), la matrice \(A\) représente une forme hermitienne \(q\).
Dans quelle base la matrice \(B\) représente-t-elle la forme \(q\) ?
\[{\vphantom{\bar x}}^{t}{\bar x}Bx = {\vphantom{\bar y}}^{t}{\bar y}Ay\ ?\]
Je suis désolé j'ai l'impression que c'est évident mais je ne vois pas trop.
[small][Avec des $\$$, il est moins facile de s’embrouiller en $\LaTeX$ (:P) AD][/small]
Merci beaucoup pour le reste j'ai bien compris maintenant.