Sous-espace stable par un endomorphisme
Bonjour à tous
Je suis bloquée sur un point certainement très c... j'essaie depuis hier mais nada !!!
Voici mon problème, j'ai un endomorphisme $\phi$ de $\R^3$, dont la matrice est : $$
\begin{pmatrix}4&3&-1\\
-2&-1&2\\
-1&-1&4\\
\end{pmatrix}.
$$ Je dois déterminer un vecteur $u_1$ tel que $\phi(u_1)=3u_1$, et un vecteur $u_2$ tel que $\phi(u_2)=3u_2+u_1$
Jusque là pas de problème, j'obtiens $u_1= (1,0,1)$ et $u_2=(0,1,2)$.
En suivant on me demande de démontrer que $Vect\{u_1,u_2\}$ est stable par $\phi$.
J'ai donc essayé de démontrer que $\phi(Vect\{u_1,u_2\})=Vect\{u_1,u_2\}$ sans réussite !!
J'ai démarré ainsi
$\phi(Vect\{u_1,u_2\})=Vect(\phi(u_1),\phi(u_2))$, $=(3u_1,3u_2+u_1),$
mais je suis bloquée.
Par le calcul idem pas plus.
Pourriez-vous voler à mon secours s'il vous plaît ?
Merci.
Je suis bloquée sur un point certainement très c... j'essaie depuis hier mais nada !!!
Voici mon problème, j'ai un endomorphisme $\phi$ de $\R^3$, dont la matrice est : $$
\begin{pmatrix}4&3&-1\\
-2&-1&2\\
-1&-1&4\\
\end{pmatrix}.
$$ Je dois déterminer un vecteur $u_1$ tel que $\phi(u_1)=3u_1$, et un vecteur $u_2$ tel que $\phi(u_2)=3u_2+u_1$
Jusque là pas de problème, j'obtiens $u_1= (1,0,1)$ et $u_2=(0,1,2)$.
En suivant on me demande de démontrer que $Vect\{u_1,u_2\}$ est stable par $\phi$.
J'ai donc essayé de démontrer que $\phi(Vect\{u_1,u_2\})=Vect\{u_1,u_2\}$ sans réussite !!
J'ai démarré ainsi
$\phi(Vect\{u_1,u_2\})=Vect(\phi(u_1),\phi(u_2))$, $=(3u_1,3u_2+u_1),$
mais je suis bloquée.
Par le calcul idem pas plus.
Pourriez-vous voler à mon secours s'il vous plaît ?
Merci.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Un point de théorie : la définition de « \(F\) est stable par \(\phi\) », ce n'est pas \(\phi(F)=F\), mais \(\phi(F)\subset F\).
Un point de pratique :
\[a(3u_1)+b(3u_2+u_1)=(3a+b)u_1+3bu_2.\]
Merci pour votre retour, je ne savais pas pour la partie théorique, donc merci.
Sur le point pratique je ne comprends pas bien où cela me mène.
En fait je suis en licence d'économie et pas de maths et nous avons plutôt des résolutions par le calcul à effectuer, j'avoue que je ne vois pas la piste vers laquelle vous me guidez.
\[a\phi(u_1)+b\phi(u_2)=a(3u_1)+b(3u_2+u_1).\]