Produit matriciel
Bonsoir à tous, j'ai un exercice dans lequel je crois que je me mélange dans mes calculs.
On me demande de montrer que pour tout $M \in M_{n}(\mathbb{K})$, [Si] $AMB=0_{n}$ alors $A$ ou $B$ est nulle.
Comme on a une équation linéaire, on peut montrer le résultat dans une base de $M_{n}(\mathbb{K})$, et ensuite par linéarité on pourra conclure.
Je pose donc $M=E_{i,j},\ A=(a_{k,l} ),\ B=(b_{k,l})$.
Mon but c'est de procéder par identification sachant que la famille des $E_{i,j}$ forme une famille libre des vecteurs de l'espace ambiant.
On a $AE_{i,j}=\sum_{1\leq k \leq n}{a_{k,i}}.E_{k,j}$ et comme $B=\sum_{1 \leq k,l \leq n}{b_{k,l}.E_{k,l}}$,
on a donc $AE_{i,j}B=(\sum_{1\leq k \leq n}{a_{k,i}}.E_{k,j}).(\sum_{1 \leq k,l \leq n}{b_{k,l}.E_{k,l}})$.
Alors, $AE_{i,j}B=\sum_{1\leq k,l \leq n}({\sum_{1 \leq k \leq n}{a_{k,i}.b_{k,l}.(\delta_{j,k}).E_{k,l})}}$.
C'est là que tout devient bizarre, est-ce que j'ai le droit de réécrire la somme ici (pour la dernière ligne) et si oui lorsque $j=k$, est-ce que le $a_{k,i}$ doit devenir $a_{j,i}$ et de même que pour $E_{k,l}$ et $b_{j,k}$.
Merci d'avance pour votre aide.
On me demande de montrer que pour tout $M \in M_{n}(\mathbb{K})$, [Si] $AMB=0_{n}$ alors $A$ ou $B$ est nulle.
Comme on a une équation linéaire, on peut montrer le résultat dans une base de $M_{n}(\mathbb{K})$, et ensuite par linéarité on pourra conclure.
Je pose donc $M=E_{i,j},\ A=(a_{k,l} ),\ B=(b_{k,l})$.
Mon but c'est de procéder par identification sachant que la famille des $E_{i,j}$ forme une famille libre des vecteurs de l'espace ambiant.
On a $AE_{i,j}=\sum_{1\leq k \leq n}{a_{k,i}}.E_{k,j}$ et comme $B=\sum_{1 \leq k,l \leq n}{b_{k,l}.E_{k,l}}$,
on a donc $AE_{i,j}B=(\sum_{1\leq k \leq n}{a_{k,i}}.E_{k,j}).(\sum_{1 \leq k,l \leq n}{b_{k,l}.E_{k,l}})$.
Alors, $AE_{i,j}B=\sum_{1\leq k,l \leq n}({\sum_{1 \leq k \leq n}{a_{k,i}.b_{k,l}.(\delta_{j,k}).E_{k,l})}}$.
C'est là que tout devient bizarre, est-ce que j'ai le droit de réécrire la somme ici (pour la dernière ligne) et si oui lorsque $j=k$, est-ce que le $a_{k,i}$ doit devenir $a_{j,i}$ et de même que pour $E_{k,l}$ et $b_{j,k}$.
Merci d'avance pour votre aide.
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Réponses
Ce dont tu veux parler est : Si, pour tout $M$, on a $AMB=0$, alors $A=0$ ou $B=0$.
Tes indices sont faux. $\displaystyle (PQ)_{i,j}=\sum_k p_{i, k} q_{k,j}$ : note bien les indices $k$...
Donc voilà je refais mes calculs en changeant des indices, je crois que c'est de là vient ma confusion sur mon exercice.
$AE_{i,j}=\sum_{1\leq k \leq n}{a_{k,i}E_{k,j}}$ et si on pose $B=\sum_{1\leq p,q\leq n}{b_{p,q}.E_{p,q}}$.
On a $AE_{i,j}B=\sum_{1\leq k,q\leq n}{a_{k,i}.b_{j,q}}.E_{k,q}$.
La famille $(E_{k,q})$ étant libre, on obtient que pour tout $(i,j,k,q) \in \{1,...,n\}^{4}$, on a $a_{k,i}.b_{j,q}=0$.
Si $A$ est non nulle, il existe un couple $(k,i)$ tel que $a_{k,i} \neq 0$. la relation ci-dessus donne alors $b_{j,q}=0$ pour tous $j,q$ donc $B$ est nulle.
Quand on revient en termes matriciels, on voit qu'il suffit de prendre un vecteur colonne $C$ qui n'est pas dans le noyau de $A$, un vecteur $X$ tel que $BX \neq 0$, et enfin une matrice $M$ telle que $M(BX)=C$ et alors $AMB \neq 0$ puisque $AMBX \neq 0$.
Non.
D’abord tu montres que si $A\neq 0$ alors $ B=0$. Ce n’est pas suffisant pour conclure.
Tes indices sont très faux.
La confusion vient de $E_{i,j}$ qui est une matrice : ses coefficients sont $(e_{i,j})_{u,v}=\delta_{i,u}\delta_{j,v}.$
Écris la relation pour tout $M$ d’abord :$ \displaystyle (AMB)_{u,v}=\sum_{p,q} a_{u,p}m_{p,q}b_{q,v}.$
Puis écris $(AE_{i,j}B)$...
En effet , on a $(AMB)_{u,v}=\sum_{1\leq k \leq n}{(AM)_{u,p}).b_{pv}}$. et $(AM)_{u,p}=\sum_{1\leq q \leq n}{a_{u,p}.m_{q,p}}$ d'où on a
$(AMB)_{u,v}=\sum_{1\leq k,q \leq n}{a_{u,q}.m_{q,p}.b_{p,v}}$.
Avec ton idée je parviens effectivement à montrer le résultat voulu en prenant la matrice élémentaire $E_{r,s}$.
Mais pourquoi tu dis le fait que $A$ soit non nulle n'est pas suffisant pour montrer que c'est la matrice $B$ qui est nécessairement nulle ?
je fais les calculs suivants:
Posons d'abord $A=(a_{k,l}) , B=(b_{p,q})$ et $E_{i,j}$
On a $AE_{i,j}=\sum_{1\leq k ,l\leq n}{a_{k,l}.E_{k,l}.E_{i,j}}$.
Comme $E_{k,l}.E_{i,j}=\delta_{l,i}.E_{k,j}$, donc on a $AE_{i,j}=\sum_{1\leq k ,l\leq n}={a_{k,l}}.\delta_{l,i}.E_{k,j}$.
Si pour $l\neq i$ la somme est nulle.
on a donc $AE_{i,j}=\sum_{1\leq k \leq n}{a_{k,i}E_{k,j}}$.
$AE_{i,j}B=(\sum_{1\leq k \leq n}{a_{k,i}E_{k,j}}).(\sum_{1\leq p,q \leq n}{b_{p,q}.E_{p,q}})$
on a donc $AE_{i,j}B=\sum_{1\leq k,q\leq n}{\sum_{1\leq p \leq n}{a_{k,i}.b_{p,q}.(\delta_{j,p}).E_{k,q}}}$.
Est-ce que l'erreur provient de ma dernière somme svp?
Bon, arrête de déconner, on n’a pas toute la soirée.
Tous tes indices sont faux. Faut quand même le faire ! Sais-tu écrire les coefficients ente de $AB$ ? Il semble que non.
$AE_{i,j}$ est une matrice. Ses coefficients sont $(AE_{i,j})_{u,v}=\sum_k A_{u,k}(E_{i,j})_{k,v}.$
Es-tu d’accord ? Si oui, continue le calcul et donne $(A(E_{i,j})B)_{p,q}.$
Merci pour ton aide
Tu ne perds pas mon temps. Tu écris des trucs bizarres.
Si tu écris une équation, tu dois la justifier.
Je n’ai pas vu de justification dans ce que tu as écris.
Ton : on a $AE_{i,j}=...$ n’est pas justifié.
Ceci étant dit, ta dernière équation n’est pas fausse. C’est le résultat recherché une fois sommé sur le delta. Pourquoi demandes-tu où est l’erreur ?
Pour résoudre cet exercice il faut justifier :
$A=\sum_{i,j} a_{i j} E_{i j}$
$E_{ab}E_{c d}=\delta_{b c}E_{a d}$
Enfin, il te faut également montrer que si $B\neq 0$ alors $A=0.$