L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Racine commune de deux trinômes
dans Algèbre
Bonjour,
Le résultat suivant est-il vrai ?
Deux trinômes à coefficients entiers ont une racine commune si toute combinaison linéaire de ces trinômes a des racines rationnelles.
A+
Le résultat suivant est-il vrai ?
Deux trinômes à coefficients entiers ont une racine commune si toute combinaison linéaire de ces trinômes a des racines rationnelles.
A+
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Réponses
Bonne soirée
F.
Je reformule.
Le résultat suivant est-il vrai ?
Deux trinômes $f$ et $g$ à coefficients entiers ont une racine commune si $f + \lambda g$ a des racines rationnelles pour tout $\lambda$.
A+
Pour la seconde proposition, je trouve que c’est vrai parce que trivialement $g=0$.
On écrit $f(x)+\lambda g(x)=(a+\lambda b) x^2-(...) x+a u_1u_2+\lambda b v_1v_2$ et que les racines sont rationnelles et donc $x={au_1u_2+\lambda b v_1v_2\over a+\lambda b}{r\over s}=(v_1v_2+{a(u_1u_2-v_1v_2)\over a+\lambda b}){r\over s}\in Q$. Comme le numérateur est dans $Z$ pour que le dénominateur soit dans $Z$ pour tout $\lambda$ il faut $b=0$ : $g$ est donc nécessairement nul.
Si $f+\lambda g=f$ possède des racines rationnelles alors elles sont communes à $g.$