Corps : groupe additif et multiplicatif
dans Algèbre
Bonjour
Joli exercice.
1) Prouver que dans un corps le groupe additif ne peut pas être isomorphe au groupe multiplicatif (= le groupe des unités)
2) Donner un exemple d'un anneau ou le groupe additif est isomorphe au groupe des unités
Michiel
Joli exercice.
1) Prouver que dans un corps le groupe additif ne peut pas être isomorphe au groupe multiplicatif (= le groupe des unités)
2) Donner un exemple d'un anneau ou le groupe additif est isomorphe au groupe des unités
Michiel
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Il y a aussi $k=S_0=\Z/2\Z, S_{n+1} = S_n[X_{n+1}]/(X_1X_{n+1},\ldots, X_{n+1}X_{n+1})$ alors $S_\infty$ est un $k$-ev. de dimension infinie et $S_\infty^\times$ c'est les éléments de la forme $1+\sum_{j=1}^J X_{e_j}$, comme c'est commutatif en caractéristique 2 on a $(1+\sum_{j=1}^J X_{e_j})^2=1^2+\sum_{j=1}^J X_{e_j}^2=1$ donc c'est un $k$-espace vectoriel, de dimension infinie.
[À ton service. ;-) AD]
Pour la question 1), si le corps est de caractéristique $0$, il existe deux éléments tels que $x^2=1$ dans le groupe multiplicatif. Mais un seul tel que $2x=0$ dans le groupe additif, donc, ils ne sont pas isomorphes.
Si le corps est de caractéristique $p$, tout élément vérifie $px=0$ dans le groupe additif. Si tout élément du groupe multiplicatif vérifiait $x^p=1$, le corps serait fini, mais alors le groupe multiplicatif qui a un élément de moins ($0$) que le groupe additif ne peut lui être isomorphe.
Oui, tu utilises 'corps' quand tu conclus que $x^p=1$ implique que le corps est fini, puisque $x^p-1=0$ a p solutions au maximum. C'est vraie aussi dans un anneau sans diviseurs de zero.
@reuns: autre exemple: R x Z/2
Vous voyez d'autre type d'anneau ?
Si vous avez envie:
1) Prouver que Q/Z ne peut pas être le groupe additif d'un anneau
2) Prouver que R/Z ne peut pas être le groupe additif d'un anneau.
Joyeux Noël,
Michiel
Pour $1$ notons $\times$ une loi dotant $(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}; +)$ d'une structure d'anneau et $\bar{a}$ l'élément unité pour cette loi. On écrit $a = \frac{p}{q}$ avec $p, q$ deux entiers et $q \neq 0$.
On a alors $q \bar{a} = 0_{\mathbb{Q}/ \mathbb{Z}}$. Mais alors, si $p'$ est un entier premier avec $q$, $\overline{\frac{q}{p'}} = q\overline{\frac{1}{p'}} = q \bar{a} \times \overline{\frac{1}{p'}} =_* (q \bar{a}) \times \overline{\frac{1}{p'}} =_* 0_{\mathbb{Q}/\mathbb{Z}}$ donc $\frac{q}{p'} \in \mathbb{Z}$ ce qui est absurde par choix du $p'$.
Les égalités $*$ utilisent les propriétés d'anneaux.
Joyeux Noël à toi aussi (et à vous tous d'ailleurs).
Un isomorphisme $f$ entre deux groupes $(G,\times)$ et $(H,+)$ est un homomorphisme bijectif. Il vérifie donc $\displaystyle f(x\times y)=f(x)+f(y), \: \: \forall x, y \in G$.
Posons $x=f(-1)$. Alors $2x=f(-1)+f(-1)=f((-1)(-1))=f((-1)^2)=f(1)=0$. Donc soit $x=0$, soit $K$ est de caractéristique $2$.
Si $x=0$, $f(-1)=0$ et donc $-1=f^{-1}(0)=1$ ! Donc la caractéristique de $K$ est $2$.
Pour tout $x \in K$, $f(x^2)=2f(x)=f(1)=0$ donc $x^2=1$.
Le corps $K$ a deux éléments et ses groupes additifs et multiplicatifs sont de cardinaux différents donc non-isomorphes.
...
Si tu en as d'autres dans le même genre, n'hésite pas à les partager, j'aime bien y réfléchir même si je trouve rarement quelque chose de concret.
J'aime aussi les questions 'de structure' simple, si tu comprends ce que je veux dire.
Autre exemple:
Est-ce-que les groupes (R,+) et (C,+) sont isomorphes?
Il en est de même de tout groupe additif équipotent à $\mathbb R$ et qui est aussi un $\mathbb Q$-espace vectoriel, et il y en a tout plein, avec l'addition usuelle :
- l'ensemble $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$ des suites rationnelles ;
- les ensembles $\mathbb{R}^{n}$, pour $n\in \mathbb{N}^{*}$ ;
- l'ensemble $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ des suites réelles ;
- les ensembles $\mathbb{R}_{n}[X]$ des polynômes à une indéterminée, à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à $n$, pour $n\in \mathbb{N}$ ;
- l'ensemble $\mathbb{R}[X]$ des polynômes à une indéterminée, à coefficients réels ;
- l'ensemble $\mathbb{R}(X)$ des fractions rationnelles à une indéterminée, à coefficients réels ;
- l'ensemble $\mathbb{R}X$ des séries entières formelles à une indéterminée, à coefficients réels ;
- l'ensemble $\mathcal{C}^{0}(I,\mathbb{R})$ des fonctions continues sur un intervalle (non trivial) $I$ de $\mathbb{R}$, à valeurs réelles ;
- les ensembles $\mathcal{C}^{k}(I,\mathbb{R})$ des fonctions de classe $\mathcal{C}^{k}$ sur un intervalle (non trivial) $I$ de $\mathbb{R}$, à valeurs réelles, pour $k\in \mathbb{N}$ ;
- l'ensemble $\mathcal{C}^{\infty }(I,\mathbb{R})$ des fonctions de classe $\mathcal{C}^{\infty }$ sur un intervalle (non trivial) $I$ de $\mathbb{R}$, à valeurs réelles ;
... et sans doute d'autres encore...
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Peut-on démontrer que $(\mathbb{R},+)\cong (\mathbb{C},+)$ sans l'axiome du choix ? (donc sans choisir de base d'espace vectoriel)
Il paraîtrait qu'il existe des mathématiques dans lesquelles un espace vectoriel n'a pas nécessairement de base, mais je n'en ai jamais vu personnellement et j'attends toujours qu'on me donne une référence à ce sujet.
Cela dit, l'axiome du choix il est très bien, il permet certes d'entourlouper les maths constructives à certains endroits, mais vu que l'axiome du choix est équivalent à des choses comme "toute relation d'équivalence admet un système de représentants" qui servent vraiment souvent sans même qu'on s'en rende compte à chaque fois, c'est peut-être un mal pour un bien :-D
(on peut les multiplier par des entiers et les additionner parce que les zéros dans la représentation décimale de $a+a_2$ ont aussi une densité $1$)
C'est clair que $E,\R$ ont la même cardinalité, mais ça me semble difficile de faire une surjection de groupe $E\to \R$.
Une façon de poser la question sans renoncer à l'axiome du choix est de demander, par exemple, s'il existe un isomorphisme mesurable (voire borélien) entre les groupes additifs de $\R$ et de $\C$.
On appelle un groupe abélien A p-divisible si l'application de A --->A: x ---> p.x=x+...+x (p fois) est surjectif.
On prouve qu'un groupe A abélien qui est p-divisible et qui a un élément d'ordre p>1 ne peut pas être le groupe additif d'un anneau avec $1\neq0$.
Remarquons que Q/Z et R/Z satisfaisent ces conditions, pour chaque p>1.
Preuve: Supposons que A admet un structure d'anneau, avec A comme groupe additif. On peut choisir un x dans A tel que p.x=1 puisque A est p-divisible. Choisit un y dans A d'ordre p. Donc p.y=y+...+y=0.
Alors on a: y=1.y= (x+...+x).y=x.y+....x.y=x.(y+...+y)=x.0=0, utilisant la distributivité de l'anneau.
Contradiction, puisque y est d'ordre p>1 et ne peut pas être égal à 0.