La famille des cosinus hyperboliques est liée
Hello !
Quoi de mieux qu'un peu d'algèbre pour se remettre de ces jours de festivité !
Je dois démontrer que la famille $f$ suivante est liée : \((f_a)_{a \in \mathbb{R}}\) avec \(\ f_a(x)=\cosh(x-a)\).
En étape intermédiaire, j'ai du montrer que : \(\cosh(x - a) = \cosh(x) \cosh(a) - \sinh(x) \sinh(a)\).
Au final je cherche donc à démontrer qu'il existe des scalaires \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) qui ne sont pas tous nuls tels que :
\(\sum _{i=1}^{n} \lambda_i\cosh(x-a_i) = 0 \), c'est-à-dire \(\sum _{i=1}^{n} \lambda_i\big(\cosh(x)\cosh(a_i)-\sinh(x)\sinh(a_i)\big)=0\).
J'ai essayé plusieurs choses :
1. Raisonner sur le fait que $\cosh$ est paire... mais le $x-a$ m'a empêché d'aller plus loin.
2. Simplifier ou développer l’équation mais sans succès pour trouver des \(\lambda_i\)
3. Prendre des exemples chiffrés (ce qui me suffirait pour démontrer qu'il existe des \(\lambda_i\) non nuls), et là plus inquiétant je n'arrive pas non plus à en trouver - et je me demande donc s'il n'y a pas une erreur dans mon énoncé ?
a. Pensez-vous qu'il s'agisse d'une erreur d'énoncé ?
b. Si non, avez-vous une idée pour simplifier l'équation et trouver les \(\lambda_i\) ?
Merci !!!
Quoi de mieux qu'un peu d'algèbre pour se remettre de ces jours de festivité !
Je dois démontrer que la famille $f$ suivante est liée : \((f_a)_{a \in \mathbb{R}}\) avec \(\ f_a(x)=\cosh(x-a)\).
En étape intermédiaire, j'ai du montrer que : \(\cosh(x - a) = \cosh(x) \cosh(a) - \sinh(x) \sinh(a)\).
Au final je cherche donc à démontrer qu'il existe des scalaires \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) qui ne sont pas tous nuls tels que :
\(\sum _{i=1}^{n} \lambda_i\cosh(x-a_i) = 0 \), c'est-à-dire \(\sum _{i=1}^{n} \lambda_i\big(\cosh(x)\cosh(a_i)-\sinh(x)\sinh(a_i)\big)=0\).
J'ai essayé plusieurs choses :
1. Raisonner sur le fait que $\cosh$ est paire... mais le $x-a$ m'a empêché d'aller plus loin.
2. Simplifier ou développer l’équation mais sans succès pour trouver des \(\lambda_i\)
3. Prendre des exemples chiffrés (ce qui me suffirait pour démontrer qu'il existe des \(\lambda_i\) non nuls), et là plus inquiétant je n'arrive pas non plus à en trouver - et je me demande donc s'il n'y a pas une erreur dans mon énoncé ?
a. Pensez-vous qu'il s'agisse d'une erreur d'énoncé ?
b. Si non, avez-vous une idée pour simplifier l'équation et trouver les \(\lambda_i\) ?
Merci !!!
Réponses
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Bonjour,
Essaie de faire des combinaisons linéaires de $\cosh(x-a_i)$ qui éliminent les $\sinh(x)$ qui apparaissent dans la formule trigonométrique de $\cosh(x-a_i)$ (car tu peux annuler les $\cosh(x)$ facilement dans ta combinaison linéaire). -
En fait tu as trouvé sans voir que tu as trouvé.
Pose $u(x)=\cosh x$ et $v(x)=\sinh x$, et ta formule $\cosh(x - a) =\cosh x \cosh a - \sinh x \sinh a $, que tu as dû prouver, s'écrit : $f_a=(\cosh a)u-(\sinh a)v$.
Je dirai même plus : ta famille $(f_a)_{a \in \mathbb{R}}$ est de rang ... ?
Bonne après-midi.
fr. Ch. -
Une autre façon de faire sans déterminer explicitement les $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ est de constater via la formule $$\cosh(x - a) = \cosh(x) \cosh(a) - \sinh(x) \sinh(a)$$ que les fonctions $f_a$ (avec $a \in \mathbb{R}$) appartiennent au sous-espace vectoriel engendré par les fonctions $\cosh, \sinh$ qui est de dimension au plus $2$. Étant donné que la famille $(f_a)_{a \in \mathbb{R}}$ est infinie elle est donc liée.
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D'ailleurs, les $(f_a)_{a\in\R}$ décrivent l'une des branches d'une hyperbole dans un plan vectoriel.
Quelles courbes décrivent respectivement les familles suivantes : $g_a : x\mapsto x-a$, $h_a : x \mapsto (x-a)^2$, et $i_a : x \mapsto \cos(x-a)$ ? -
Super, merci à tous ! L'explication de Chaurien est celle que je comprends le mieux et mon exo est résolu !!! :)o
Pour ma compréhension plus générale, j'avais également une autre question dans cet exo, où on nous a fait démontrer que la famille des fonctions exp(ax) était elle libre.
Pourquoi est-ce que cosh(x-a) est une famille liée alors que exp(ax) est libre ? -
Drôle de question. Un jour il fait beau et le lendemain il pleut, pourquoi ? Il faut regarder cas par cas. Par exemple si $g_a(x)=\cosh ax$ alors la famille $(g_a)_{a \in \mathbb{R}_+}$ est libre.
-
Voici la façon dont je vois les choses. Attention, c'est très vague, pas du tout rigoureux et probablement criticable.
Si $(f_i)$ est une famille (pas trop grande) de fonctions distinctes un peu quelconques, la famille des $x\mapsto e^{f_i(x)}$ a de bonnes chances d'être libre parce qu'il y a peu de chances qu'il y ait des relations particulières entre les $f_i$ et la fonction $\exp$. C'est le cas pour la famille des $f_a:x\mapsto ax$.
En revanche, la famille des $f_{a,\pm} : x\mapsto \pm( x-a)$ a une relation particulière avec la propriété de morphisme de l'exponentielle parce qu'elle fait intervenir une simple soustraction et du coup : $e^{\pm(x-a)} = e^{\mp a} e^{\pm x}$. Ainsi, la famille des $x\mapsto e^{\pm(x-a)}$ est liée de rang deux et les $\cosh(x-a)$ aussi à cause de la définition du cosh (tiens, au passage, ça donne une nouvelle solution à ton exercice). Donc il y a une sorte d'exception miraculeuse ici. -
supp
-
Bonsoir BA
J'ai bloqué au même endroit que toi dans l'exo.
Après avoir réussi, sans trop de peine, à écrire : $$\cosh(x-a)=\cosh(x)\cosh(a)-\sinh(x)\sinh(a),
$$ je ne comprends pas comment l'aide de Chaurien permet d'arriver à la conclusion que $g_{a}$ est une famille liée.
Merci si tu peux un peu me mettre sur la piste (je pense qu'on a les mêmes cours ;-))
Bon courage pour la suite ! -
Bonjour DrShiva.
Il n'est pas très difficile de factoriser sh(x) et ch(x) ...
Cordialement. -
Bonjour Gérard
Merci de ta réponse.
Oui effectivement, c'est ma précédente question que j'ai mal posée.
En fait une fois que j'ai compris que l'on peut exprimer toute combinaison linéaire de fonctions ga distinctes en fonction de cosh(x) et sinh(x) ... je ne comprends pas quel concept permet de conclure concernant la dépendance.
Dois-je considérer ga(x) cosh(x) et sinh(x) les vecteurs d'un même espace vectoriel F={f:R--->R} ? C'est le mieux que j'ai trouvé. -
Comme il y a une infinité de $a$, donc de $g_a$, si on trouve une famille de 3 $g_a$ qui est liée, on a gagné. Or une combinaison linéaire de 3 telles fonctions est une combinaison linéaire de 3 éléments d'un espace vectoriel de dimension au plus 2 (on connaît une famille génératrice à 2 éléments), donc est liée. Fin !
Cordialement. -
Ok merci Gérard,
Il faut donc que je revois plus précisément la définition d'une famille génératrice, c'est là que je pèche.
Parce que, pour moi, une combinaison linéaire avec les vecteurs cosh et sinh n'est pas une combinaison linéaire d'éléments de g_a, c'est là que je buggue.
Merci pour ton aide précieuse !
Je débute et il faut un peu de temps pour mettre ces outils en place :-) -
Tous les éléments obtenus par combinaison linéaire des vecteurs d'une famille de vecteurs sont dans le sous-espace vectoriel engendré par cette famille (définition de "engendré", de "génératrice").
C'est effectivement une notion élémentaire qu'il faut bien comprendre. -
Rebonjour Gérard
Voilà ce que je ne saisis pas, un peu comme une flèche lancée qui n'anticipe pas trop où elle va atterrir :
dans l'exercice qui m'est donné, l'ensemble des fonctions de R dans R est appelé F.
Ensuite est donné la définition d'une famille de fonctions g_a, a appartenant à R. (En l’occurrence g_a(x)=cosh(x-a) pour tout x réel).
Quand je regarde la définition d'une famille génératrice, je n'arrive pas à identifier l'espace vectoriel E de la définition.
Est-ce que E est le même ensemble que F ou bien, E (dans la définition) est l'ensemble des fonction g_a ?
La famille génératrice, génère quel espace vectoriel ? F ? ou g_a ?
Dans le cas où elle générerait g_a faut-il démontrer que g_a est un sous-espace vectoriel de F ?
J'ai bien compris qu'il fallait être précis ... mais pour cela il faut avoir l'esprit clair, j'ai encore les yeux pleins de boue.
Merci beaucoup d'accorder de ton temps. -
Les fonctions $g_a$ (c'est plus joli si tu mets g_a entre des $\$$) engendrent un sous-espace vectoriel de F, notons-le E. Tu as vu dans le calcul que E est aussi engendré par la famille de fonctions $(\sinh, \cosh)$, donc E est de dimension inférieure ou égale à 2. Ça suffit pour terminer.
Attention à ce que tu écris : "Dans le cas où elle générerait g_a " !! $g_a$ n'est pas un espace vectoriel, mais une fonction, donc un des vecteurs. Pire, tu as vu que $g_a$ est justement une combinaison linéaire de $\sinh et \cosh$.
J'ai l'impression qu'une bonne relecture du cours d'algèbre linéaire pour bien comprendre le vocabulaire serait très urgente. Et peut-être quelques exercices élémentaires sur des espaces vectoriels simples ou pas te feraient le plus grand bien. Il ne sert à rien de faire des exercices compliqués quand on ne connaît pas vraiment le cours.
Cordialement. -
Oui, c'est certain que lire et relire le cours tranquillement, en le comprenant, me sera de la plus grande utilité.
Merci encore, Gérard, pour tes lumières. -
BA écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1912116,1912222#msg-1912222
Ma nièce avait le même exo apparemment à faire et j'ai trouvé cette explication sous youtube pourquoi la famille des fonctions exp(ax) était elle libre.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
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Bonjour!
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