Isomorphisme de groupes topologiques
Bonsoir
Est-il possible de construire deux groupes topologiques $G$ et $H$ tels que les espaces topologiques $G$ et $H$ soient homéomorphes, les groupes $G$ et $H$ isomorphes, mais qu'il n'existe pas d'homéomorphisme entre $G$ et $H$ qui soit aussi un isomorphisme de groupe ?
Je n'ai rien trouvé de concluant chez les métriques et je ne suis pas encore un virtuose de la topologie générale donc j'ai un peu de mal à trouver des exemples qui utilisent des topologies plus exotiques.
Est-il possible de construire deux groupes topologiques $G$ et $H$ tels que les espaces topologiques $G$ et $H$ soient homéomorphes, les groupes $G$ et $H$ isomorphes, mais qu'il n'existe pas d'homéomorphisme entre $G$ et $H$ qui soit aussi un isomorphisme de groupe ?
Je n'ai rien trouvé de concluant chez les métriques et je ne suis pas encore un virtuose de la topologie générale donc j'ai un peu de mal à trouver des exemples qui utilisent des topologies plus exotiques.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
On commence avec $a_1(n)=n$ puis pour $k=1,2,\ldots$,
pour chaque $n$ on trouve le $u+v\pi \in \Z+\pi \Z, a_k(n)<u+v\pi <a_k(n+1)$ avec $|u|+|v|$ minimal et on pose $a_{k+1}(2n)=a_k(n),a_{k+1}(2n+1)=u+v\pi$.
On construit pareil des suites $b_k(n)$ pour $\Z+\sqrt{2}\Z$,
et $f(a_k(n))=b_k(n)$.
La condition $|u|+|v|$ minimum dit que $f$ est bijective, $f$ est croissante donc si elle n'était pas continue elle aurait un saut ce qui l'empêcherait d'être surjective. Donc $f$ est continue et par le même raisonnement $f^{-1}$ aussi.
On considère les groupes $G$, $H$ définis par $G=H=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.
On munit $G$ de la topologie engendrée par les classes d'équivalence modulo $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ et $H$ de la topologie engendrée par les classes d'équivalence modulo $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$. On vérifie que $G$ et $H$ munis des topologies précédentes sont des groupes topologiques.
$G$ et $H$ sont évidemment isomorphes en tant que groupes et ils sont homéomorphes en tant qu'espaces topologiques (évident). Par contre il n'existe pas d'isomorphisme de groupes entre $G$ et $H$ qui soit également un homéomorphisme, en effet tout homéomorphisme de $G$ dans $H$ fixant le $0$ enverrait nécessairement le sous-groupe $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.
PS. sorry reuns mais je n'ai pas compris ton exemple...
C'est ce qu'a l'air de dire ta démonstration.
Je dirais même plus : est-il vrai que toutes les parties denses et dénombrables de $\R$ sont homéomorphes ?
Ah oui ç'a l'air vrai : https://math.stackexchange.com/questions/1238572/countable-dense-subsets-of-mathbb-r-are-homeomorphic