Sous-corps d'une extension cyclotomique

Michel_V
Michel_V
dans Algèbre
Bonjour,
je travaillais sur un exercice concernant l'étude du treillis des sous-corps de type $\mathbb{Q}(\zeta_p)$, $p$ premier impair, et après avoir établi qu'il existe un unique sous-corps $F$ de degré $2$ sur $\mathbb{Q}$, je dois prouver que $F \subseteq \mathbb{R}$ ssi $p \equiv 1$ $\mathrm{mod}$ $4$. Je bloque sur cette partie, j'ai essayé sans beaucoup de succès d'expliciter les éléments de $F$ mais ça ne me parait pas faisable… des indications ?

Au cas où ce n'est pas clair, $\zeta_p = e^\frac{2i\pi}{p}$, et l'exercice rentre dans la cadre d'un cours de théorie de Galois donc j'ai quelques notions à ce sujet.

Réponses

  • Homo Topi
    Homo Topi
    Regarde-voir l'avant dernier point ici, on dirait que c'est un bon indice pour ta question.
  • Poirot
    Poirot
    Il suffit de voir quand est-ce que $F$ est stable par la conjugaison complexe, qui est un élément d'ordre $2$ de $Gal(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb Q)$.
  • Michel_V
    Michel_V
    @Homo Topi bien sûr ce truc tue un peu l'exercice mais pour bien faire je devrais le prouver si je veux l'utiliser et je pense que ce n'est pas évident du tout, en tout cas je n'aurait aucune idée de comment m'y prendre.

    @Poirot effectivement j'y avais pensé, mais ce qu'y m'échappe dans cette solution c'est de voir comment je peux vérifier la stabilité de $F$ par la conjugaison complexe sans savoir quel genre d'éléments on trouve dans $F$... j'ai pensé chercher un élément primitif pas trop moche en utilisant des $\zeta_n^k$ dont le polynôme minimal serait de degré $2$ mais ce ne marche pas bien du tout. Je sens qu'il y a un truc auquel je n'ai pas pensé mais pour l'instant je ne vois pas de quoi il s'agit...
  • JLT
    JLT
    On identifie $Gal(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb Q)$ à $\Z/(p-1)\Z$. L'unique sous-corps de degré $2$ est l'ensemble des éléments fixés par le sous-groupe $2\Z/(p-1)\Z$. La conjugaison complexe correspond à l'élément $\frac{p-1}{2}$. On a $\frac{p-1}{2}\in 2\Z/(p-1)\Z$ si et seulement si $p\equiv 1\pmod{4}$.
  • gai requin
    gai requin
    Bonjour,

    Si on veut être plus explicite, on peut se passer de l'identification faite par JLT.

    Soit $\alpha$ un entier naturel d'ordre $p-1$ modulo $p$.
    Alors $\mathrm{Gal}(\Q(\zeta_p)/\Q)$ est le groupe cyclique engendré par $\sigma:\zeta_p\mapsto \zeta_p^{\alpha}$, $F$ est le sous-corps fixé par $\sigma^2$ et $\Q(\zeta_p)\cap\R$ est le sous-corps fixé par $\sigma^{\frac{p-1}2}$.
    Par correspondance galoisienne,$$\begin{align}F\subset\Q(\zeta_p)\cap\R&\Leftrightarrow \sigma^{\frac{p-1}2}\in\langle\sigma^2\rangle\\&\Leftrightarrow p\equiv 1\bmod 4.\end{align}$$
  • gai requin
    gai requin
    Un petit complément.

    Si $\Delta$ est le discriminant de $\Phi_p$, $\sqrt{\Delta}\in\Q(\zeta_p)$.
    Or, $\Delta=(-1)^{\frac{p-1}2}p^{p-2}$, donc :$$F=\begin{cases}\Q(\sqrt{p})\text{ si }p\equiv 1\bmod 4\\\Q(i\sqrt{p})\text{ si }p\equiv 3\bmod 4\end{cases}.$$

    On peut alors faire mumuse avec $p=13$.
    En notant $\zeta=\zeta_{13}$, $\alpha=\frac 1 2(\zeta+\zeta^3+\zeta^4+\zeta^9+\zeta^{10}+\zeta^{12})\in F$ (pourquoi ?).
    Exprimer $\alpha$ à l'aide de $\cos$ puis en fonction de $\sqrt{13}$.
  • reuns
    reuns
    Oui ça fait une preuve sympa de la réciprocité quadratique, une du style qui a des chances de bien se généraliser aux réciprocités plus élevées
  • gai requin
    gai requin
    @reuns : Que faut-il faire pour obtenir la loi de réciprocité quadratique à partir de l'étude de $F$ ci-dessus ?
  • Poirot
    Poirot
    @gai requin : $F$ est l'unique sous-corps quadratique de $K = \mathbb Q(\zeta_p)$. Si $q$ est un premier différent de $p$, il est non ramifié dans $K$, et on peut regarder son Frobenius $\sigma_q$ dans $K$. On sait que $\sigma_q : \zeta_p \mapsto \zeta_p^q$, et puisque $F$ est le sous-corps de $K$ fixé par les carrés mod $p$, on en déduit que $\sigma_q \,_{\mid F}$ vaut l'identité si et seulement si $q$ est un carré mod $p$. D'un autre côté, la restriction de $\sigma_q$ à $F$ est le Frobenius de $q$ dans $F$, qui vaut l'identité si et seulement si $p^*$ est un carré mod $q$.
  • Michel_V
    Michel_V
    D'accord, les derniers messages dépassent un peu le cadre de ma question initiale mais j'avais finalement essayé de voir quand $p-1$ est un carrré modulo $p$ donc ca m'a fait revoir un peu de théorie des nombres, et c'est vrai que ca marche assez bien comme ca. J'avais envie de demander par curiosité comment on obtient les éléments primitifs mais vu que cela a déjà été dit ben je n'ai pas besoin de poser la question :)
    En tout cas merci pour votre aide !
  • gai requin
    gai requin
    @poirot : Merci !

    La clé, me semble-t-il, c'est qu'on peut voir $\sigma_q$ de deux façons différentes parce que $\phi_p$ est séparable modulo $q$ !
    1) La restriction de $\sigma_q$, vu comme un élément de $\mathrm{Gal}(K/\Q)$, à $F$ est l'identité si et seulement si $\sigma_q\in\mathrm{Gal}(K/F)$ si et seulement si $q$ est un carré modulo $p$.
    2) Comme $F$ est le corps de décomposition de $X^2-p^*$, cette même restriction, vue comme un élément du groupe de Galois d'une certaine extension de $\mathbb F_q$, est l'identité si et seulement si $X^2-\overline{p^*}$ est scindé dans $\mathbb F_q$ si et seulement si $p^*$ est un carré modulo $q$.
    3) D'où :$$\binom q p=\binom{p^*}q=\binom{(-1)^{\frac{p-1}2}}q\binom p q=(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}4}\binom p q.$$
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