Équations à deux inconnues dans $\Z/n\Z$
dans Algèbre
Bonjour,
j'ai du mal à comprendre comment démontrer que les équations suivantes n'ont pas de solutions, respectivement, dans $(\Z/11\Z),\ (\Z/13\Z),\ (\Z/17\Z) .$
1). $a^6 + 3a^5b + 7a^4b^2 + 9a^3b^3 + 7a^2b^4 + 3ab^5 + b^6= 0$. (dans $\Z/11\Z$)
idem pour :
2). $a^6 + 3a^5b + 8a^4b^2 + 11a^3b^3 + 8a^2b^4 + 3ab^5 + b^6=0$ (dans $\Z/13 \Z$)
3). $a^{12} + 6a^{11}b + 26a^{10}b^2 + 75a^9b^3 + 156a^8b^4 + 240a^7b^5 + 277a^6b^6 + 240a^5b^7 + 156a^4b^8 + 75a^3b^9 + 26a^2b^{10} + 6ab^{11} + b^{12}$. (dans $\Z/17 \Z$).
Avec python on vérifie qu'ils n' ont pas de solutions dans les ensembles susmentionnés.
Merci, de me donner un coup de main.
j'ai du mal à comprendre comment démontrer que les équations suivantes n'ont pas de solutions, respectivement, dans $(\Z/11\Z),\ (\Z/13\Z),\ (\Z/17\Z) .$
1). $a^6 + 3a^5b + 7a^4b^2 + 9a^3b^3 + 7a^2b^4 + 3ab^5 + b^6= 0$. (dans $\Z/11\Z$)
idem pour :
2). $a^6 + 3a^5b + 8a^4b^2 + 11a^3b^3 + 8a^2b^4 + 3ab^5 + b^6=0$ (dans $\Z/13 \Z$)
3). $a^{12} + 6a^{11}b + 26a^{10}b^2 + 75a^9b^3 + 156a^8b^4 + 240a^7b^5 + 277a^6b^6 + 240a^5b^7 + 156a^4b^8 + 75a^3b^9 + 26a^2b^{10} + 6ab^{11} + b^{12}$. (dans $\Z/17 \Z$).
Avec python on vérifie qu'ils n' ont pas de solutions dans les ensembles susmentionnés.
Merci, de me donner un coup de main.
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Réponses
Je ne comprends pas ta question. Tu dis que tu as pu vérifier sur Python qu'il n'y avait pas de solutions, que te faut-il de plus ? Si tu cherches comment celui-ci a pu faire, il y a une réponse simple : il n'y a qu'un nombre fini de calculs à mener ($11^2, 13^2, 17^2$ respectivement, et même moins en remarquant la symétrie entre $a$ et $b$ dans chaque cas), et on vérifie qu'à chaque fois ça ne fait pas zéro.
Il y a un truc que je n'ai pas compris dans l'énoncé, si je prends $(a,b)=(0,0)$, ça a l'air de faire le taf. Il n'y a pas des termes manquants?
je dois démontrer l'inexistence de solutions d'une équation générale semblable au cas particuliers $n=11,13,17.$ mais cette fois-ci dans $\Z/n\Z$ ou $n$ est premier. Vous comprenez la raison d'une démonstration logique sur des cas simples. Peut-être il y a une démonstration en algèbre que j'ignore.
$a$ et $b$ ne sont pas nuls.
L'existence ou l'inexistence de solutions dépend de l'équation. A quoi sert de parler " d'une équation générale semblable aux cas particuliers" sans la citer ? D'autant que tes cas particuliers ont tous une solution évidente, comme le dit Titi.
Pose directement la vraie question, au lieu de tourner autour du pot.
Cordialement.
As-tu fais un changement de variable y=x+1/x, pour pouvoir transformer l'équation en x à celle en y ?
Comment tu as procédé pour pouvoir arriver à la dernière équation en y.
\mathbf{F}_{11}\;:\ &(a^{2} - a b + b^{2}) \cdot (a^{2} + a b + 4 b^{2}) \cdot (a^{2} + 3 a b + 3 b^{2})\\
\mathbf{F}_{13}\;:\ &(a^{3} + 7 a^{2} b + 4 a b^{2} - b^{3}) \cdot (a^{3} + 9 a^{2} b + 6 a b^{2} - b^{3})\\
\mathbf{F}_{17}\;:\ &(a^{2} + 15 a b + 15 b^{2}) \cdot (a^{2} + a b + 8 b^{2}) \cdot (a^{2} + 4 a b + b^{2}) \cdot (a^{3} + a^{2} b + 15 a b^{2} - b^{3}) \cdot (a^{3} + 2 a^{2} b - a b^{2} - b^{3}).\end{align*}On voit en effet un air de famille (des produits de facteurs de degrés deux et trois sans racine sur le corps premier) mais de là à extrapoler la règle générale...
Mais qui sait, peut-être les degrés de ces polynômes auront les degrés 2 et 3. Seulement leur nombre qui augmente si $n$ augmente.
Veux-tu faire un test : pour un indice $n$ de ton choix ?
J’ai appris un peu ‘Sage’, afin de factoriser le cas n=17, mais sur un MacBook on ne peut plus installer Sage maths par contre, on peut le faire online sur le site ‘coCalc’,après vérification, online bien sûre, la factorisation suivant les instructions du language associé ne se produit plus. Peut-être Math Coss avait procédé différemment ? .
(a^{2} + 15 a b + 15 b^{2}) \cdot (a^{2} + a b + 8 b^{2}) \cdot (a^{2} + 4 a b + b^{2}) \cdot (a^{3} + a^{2} b + 15 a b^{2} - b^{3}) \cdot (a^{3} + 2 a^{2} b - a b^{2} - b^{3})Ce qui donne : \[(a^{2} + 15 a b + 15 b^{2}) \cdot (a^{2} + a b + 8 b^{2}) \cdot (a^{2} + 4 a b + b^{2}) \cdot (a^{3} + a^{2} b + 15 a b^{2} - b^{3}) \cdot (a^{3} + 2 a^{2} b - a b^{2} - b^{3}).\]pour le cas par exemple: n=31.
R31.<a,b> = PolynomialRing(FiniteField(31),2):
f=a^24 + 12*a^23*b + 11*a^22*b^2 - 13*a^21*b^3 + 8*a^20*b^4 - 15*a^19*b^5 + 3*a^18*b^6 - 12*a^17*b^7 - a^16*b^8 - 5*a^15*b^9 + 10*a^14*b^10 - 11*a^13*b^11 + 4*a^12*b^12 - 11*a^11*b^13 + 10*a^10*b^14 - 5*a^9*b^15 - a^8*b^16 - 12*a^7*b^17 + 3*a^6*b^18 - 15*a^5*b^19 + 8*a^4*b^20 - 13*a^3*b^21 + 11*a^2*b^22 + 12*a*b^23 + b^24
f.factor():
(a^2 + a*b - 7*b^2) * (a^2 + 11*a*b + b^2) * (a^2 - 9*a*b - 9*b^2) * (a^9 - 2*a^8*b + 2*a^7*b^2 - 15*a^6*b^3 - 9*a^5*b^4 + 11*a^4*b^5 - 14*a^3*b^6 + 8*a^2*b^7 - 11*a*b^8 - b^9) * (a^9 + 11*a^8*b - 8*a^7*b^2 + 14*a^6*b^3 - 11*a^5*b^4 + 9*a^4*b^5 + 15*a^3*b^6 - 2*a^2*b^7 + 2*a*b^8 - b^9)
on remarque que on ne peut pas, hélas, extrapoler la règle générale en fonction des polynômes des degrés 2 et 3 .
Est-ce que tu peux expliquer ta construction ? Tu nous sors des polynômes et a priori tu as une manière de les créer ?
Est-ce que vos dires sont issus d'un théorème qui s'applique sur les polynômes réciproques de degré n quelconque ?
Car une condition sur les solutions de l'équation est la suivante :
si deux nombres (a ,b) non nuls vérifient l'équation mystérieuse alors elle doit être vérifiée par les nombres non nuls (a,c) ou bien (b,c) tels que a+b+c=0 (égalité dans Z/nZ).
Mais si deux nombres (a ,b) vérifient une équation polynomiale P(a,b)=0 ou P(a,b) divise le polynôme de l'équation mystérieuse, alors on a pas nécessairement p(a,c)=0 et p(b,c)=0.
J’avais hésité de donner la source de l’equation mystérieuse, par peur de ne pas recevoir des réponses , car c’est une équation issue du premier cas de Fermat. De plus cette équation contient des sommations, je trouverais des difficultés de les écrire sur ce site.