Une équation inédite

Sept équations pour le prix d'une, bravo Piteux_gore !

Bonjour
Voici ma solution pour résoudre sur les réels $\displaystyle \sqrt{x+7}\pm\sqrt{x+5}\pm\sqrt{x+3}\pm\sqrt{x+2}=0.$

Les radicandes doivent être positifs et donc $x\geq -7.$

Dans l’espoir de simplifications on pose $\displaystyle A=x+7,B=x+5,C=x+3,D=x+2$ et $\displaystyle a,b,c\in \{-1,1\}.$

On élève au carré successivement pour éliminer tous les radicaux :
On a $\displaystyle \sqrt{A}+a\sqrt{B}+b\sqrt{C}+c\sqrt{D}=0$
puis $\displaystyle \sqrt{A}+a\sqrt{ B}=-b\sqrt{C}-c\sqrt{D}$
et donc $\displaystyle A+B-C-D=-2a\sqrt{AB}+2bc \sqrt{CD}$
puis $\displaystyle 8abc\sqrt{ABCD}=4AB+4CD-(A+B-C-D)^2$
et enfin $\displaystyle ABCD=\Big({AB+CD\over 2}-{(A+B-C-D)^2\over 8}\Big)^2.$

Je ne vois pas de simplification évidente. On reconnaît dans chaque membre un polynôme unitaire de degré $4$ et donc au plus un polynôme de degré $3$ que l’on sait résoudre.

On revient en $x$ :
on calcule $\displaystyle A+B-C-D=7$
et $\displaystyle AB+CD=2x^2+17 x+41$
et $\displaystyle ABCD=x^4+17x^3+101x^2+247x+210.$

L’équation se simplifie et on trouve $168x+215=0$ et donc $\displaystyle x=-{215\over 168}\geq-7.$

Les termes en $x^3$ et en $x^2$ sont nuls : je n’ai pas reconnu de simplification dans ma démarche (peut-être une autre approche est plus directe).

Pour la condition suffisante, on reporte et on trouve $\displaystyle {31\over \sqrt{168}}+a{25\over \sqrt{168}}+b{17\over \sqrt{168}}+c{11\over \sqrt{168}}=0.$

On a donc $\displaystyle 31+a25+b17+c11=0$. Nécessairement il faut $a=-1$, puis $\displaystyle 6+b17+c11=0$ et donc $b=-1$ et enfin $c=1.$

On conclut : parmi toutes les équations données seule l’équation $\displaystyle \sqrt{x+7}-\sqrt{x+5}-\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}=0$ possède une solution et cette solution est $-215/168.$

$(\sqrt{x+7}\pm \sqrt{x+2})^2=(\sqrt{x+5}\pm\sqrt{x+3})^2$
$1\pm 2\sqrt{(x+2)(x+7)}=\pm 2\sqrt{(x+3)(x+5)}$
$1+4(x^2+9x+14)\pm 4\sqrt{x^2+9x+14}=4(x^2+8x+15)$
$4x-3=\pm 4\sqrt{x^2+9x+14}$
$16x^2-24x+9=16(x^2+9x+14)$
$x=-\frac{215}{168}$.

Réciproquement, pour cette valeur de $x$ on a $\sqrt{x+7}-\sqrt{x+5}-\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}=0$.