Stabilité
Bonsoir, j'aimerais bien savoir savoir s'il pouvait arriver que la réciproque d'un théorème portant sur la stabilité soit vérifiée.
On considère un endomorphisme $u$ de $E$ où $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie non nulle.
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.
Si $F$ est $u$-stable, alors le polynôme caractéristique de $u_{F}$ divise celui de $u$.
Est-ce que la réciproque peut être vraie ?
Aussi est-ce qu'on peut avoir une condition nécessaire et suffisante de la stabilité d'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ ?
Merci d'avance pour votre aide.
On considère un endomorphisme $u$ de $E$ où $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie non nulle.
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.
Si $F$ est $u$-stable, alors le polynôme caractéristique de $u_{F}$ divise celui de $u$.
Est-ce que la réciproque peut être vraie ?
Aussi est-ce qu'on peut avoir une condition nécessaire et suffisante de la stabilité d'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ ?
Merci d'avance pour votre aide.
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Réponses
Si $F$ est $u$-stable alors polynôme caractéristique $P_{u_{F}}$ divise celui de $P_{u}$
Mais est-ce que la réciproque est vraie?
De même je demandais s'il était une condition nécessaire et suffisante qui prouve la stabilité d'un sous-espace vectoriel en utilisant la notion de polynôme caractéristique.
Plus généralement, dès que le polynôme minimal de $u$ est plus petit que le caractéristique, on peut s'amuser avec des contre-exemples : disons que $\pi$ est le minimal, $\chi$ le caractéristique, et disons que $P$ est irréductible, de valuation $k$ dans $\pi$ et de valuation $n >k $ dans $\chi$.
On peut alors regarder $P^k$, qui divise bien $\chi$, mais ne sera pas le polynôme caractéristique de la restriction de $u$ à $\ker P^k(u) = \ker P^n(u)$