Stabilité
Bonsoir, j'aimerais bien savoir savoir s'il pouvait arriver que la réciproque d'un théorème portant sur la stabilité soit vérifiée.
On considère un endomorphisme $u$ de $E$ où $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie non nulle.
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.
Si $F$ est $u$-stable, alors le polynôme caractéristique de $u_{F}$ divise celui de $u$.
Est-ce que la réciproque peut être vraie ?
Aussi est-ce qu'on peut avoir une condition nécessaire et suffisante de la stabilité d'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ ?
Merci d'avance pour votre aide.
On considère un endomorphisme $u$ de $E$ où $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie non nulle.
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.
Si $F$ est $u$-stable, alors le polynôme caractéristique de $u_{F}$ divise celui de $u$.
Est-ce que la réciproque peut être vraie ?
Aussi est-ce qu'on peut avoir une condition nécessaire et suffisante de la stabilité d'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ ?
Merci d'avance pour votre aide.
Réponses
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Si $F$ est $u$-stable, alors le polynôme caractéristique de $u_F$ divise celui de $u$.
Est-ce que la réciproque peut être vraie?Aussi est-ce qu'on peut avoir une condition nécessaire et suffisante de la stabilité d'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$? -
Sinon tu fais comment pour prouver le résultat Attien ? (si $a$ est une racine de $\det(u-xI)$ alors $\ker(u-aI)$ est non-vide, quelle est la multiplicité de $a$ dans $\det(u-xI)$ ?)
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Je demandais:
Si $F$ est $u$-stable alors polynôme caractéristique $P_{u_{F}}$ divise celui de $P_{u}$
Mais est-ce que la réciproque est vraie?
De même je demandais s'il était une condition nécessaire et suffisante qui prouve la stabilité d'un sous-espace vectoriel en utilisant la notion de polynôme caractéristique. -
Attien : tu n'as pas lu la réponse de marsup qui te dit que ta question "est-ce que la réciproque est vraie ?" n'a pas de sens puisque $u_F$ n'en a pas en l'absence de l'hypothèse de stabilité !
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Ah oui désolé, dans le cas où $F$ n'est pas stable, $u_{F}$ est juste la restriction à $F$
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Dans ce cas, pourquoi $u_F$ serait-il un endormorphisme de $F$? Ou bien, qu'est-ce que le "polynôme caractéristique" d'une application linéaire qui n'est pas un endomorphisme?
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je n'ai pas dit que c'est un endomorphisme, j'ai juste dit que c'est la restriction à $F$.
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Dans ce cas, qu'est-ce que son polynôme caractéristique?
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Tu ne lis pas les messages en entier !! C'est quoi le polynôme caractéristique de quelque chose qui n'est pas un endomorphisme ?
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supp
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Je pense plutôt que $Q$ n'est pas nécessairement le polynôme caractéristique de $u_F$, pour des bêtes raisons de dimensions et de degré, il n'y a pas de raison que la dimension de $\ker(Q(u))$ soit le degré de $Q$. Par exemple, si $u$ est un endomorphisme diagonalisable, qui a une valeur propre $\lambda$ de multiplicité $2$. Alors $X - \lambda$ divise le polynôme caractéristique de $u$, et le noyau de $u - \lambda.\mathrm{Id}$ est l'espace propre associé à $\lambda$, qui est de dimension $2$ par hypothèse. Le polynôme caractéristique de $u_F$ dans ce cas est $(X-\lambda)^2$ et non $X - \lambda$.
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side : $Q$ n'a aucune raison d'être le polynôme caractéristique de $u_F$. Prendre, par exemple, $u=0$.
Plus généralement, dès que le polynôme minimal de $u$ est plus petit que le caractéristique, on peut s'amuser avec des contre-exemples : disons que $\pi$ est le minimal, $\chi$ le caractéristique, et disons que $P$ est irréductible, de valuation $k$ dans $\pi$ et de valuation $n >k $ dans $\chi$.
On peut alors regarder $P^k$, qui divise bien $\chi$, mais ne sera pas le polynôme caractéristique de la restriction de $u$ à $\ker P^k(u) = \ker P^n(u)$ -
supp
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supp
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Pour $u\in M_n(\C)$ et $a$ une racine de $\det(u-tI)$ commence par montrer que $\ker((u-aI)^n)$ et $Im((u-aI)^n)$ sont envoyés vers eux-mêmes par $u$ puis regarde le polynôme caractéristique des deux restrictions de $u$
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