Stabilité

Si $F$ est $u$-stable, alors le polynôme caractéristique de $u_F$ divise celui de $u$.

Est-ce que la réciproque peut être vraie?

Que signifie $u_F$ si $F$ n'est pas stable par $u$ ? Tu es sûr d'avoir bien réfléchi à la question ? 8-)

Aussi est-ce qu'on peut avoir une condition nécessaire et suffisante de la stabilité d'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$?

Une condition nécessaire et suffisante, sans doute, mais qui parlerait de quoi ? De polynôme caractéristique ? Mais de polynôme caractéristique de quel endomorphisme ?

Tu ne lis pas les messages en entier !! C'est quoi le polynôme caractéristique de quelque chose qui n'est pas un endomorphisme ?

Je pense plutôt que $Q$ n'est pas nécessairement le polynôme caractéristique de $u_F$, pour des bêtes raisons de dimensions et de degré, il n'y a pas de raison que la dimension de $\ker(Q(u))$ soit le degré de $Q$. Par exemple, si $u$ est un endomorphisme diagonalisable, qui a une valeur propre $\lambda$ de multiplicité $2$. Alors $X - \lambda$ divise le polynôme caractéristique de $u$, et le noyau de $u - \lambda.\mathrm{Id}$ est l'espace propre associé à $\lambda$, qui est de dimension $2$ par hypothèse. Le polynôme caractéristique de $u_F$ dans ce cas est $(X-\lambda)^2$ et non $X - \lambda$.

supp

Pour $u\in M_n(\C)$ et $a$ une racine de $\det(u-tI)$ commence par montrer que $\ker((u-aI)^n)$ et $Im((u-aI)^n)$ sont envoyés vers eux-mêmes par $u$ puis regarde le polynôme caractéristique des deux restrictions de $u$