Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
56 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Stabilité

Envoyé par Attien 
Stabilité
il y a trois mois
Bonsoir, j'aimerais bien savoir savoir s'il pouvait arriver que la réciproque d'un théorème portant sur la stabilité soit vérifiée.

On considère un endomorphisme $u$ de $E$ où $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie non nulle.
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.
Si $F$ est $u$-stable, alors le polynôme caractéristique de $u_{F}$ divise celui de $u$.

Est-ce que la réciproque peut être vraie ?
Aussi est-ce qu'on peut avoir une condition nécessaire et suffisante de la stabilité d'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ ?
Merci d'avance pour votre aide.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Stabilité
il y a trois mois
Citation

Si $F$ est $u$-stable, alors le polynôme caractéristique de $u_F$ divise celui de $u$.

Est-ce que la réciproque peut être vraie?
Que signifie $u_F$ si $F$ n'est pas stable par $u$ ? Tu es sûr d'avoir bien réfléchi à la question ? eye rolling smiley
Citation

Aussi est-ce qu'on peut avoir une condition nécessaire et suffisante de la stabilité d'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$?
Une condition nécessaire et suffisante, sans doute, mais qui parlerait de quoi ? De polynôme caractéristique ? Mais de polynôme caractéristique de quel endomorphisme ?
Re: Stabilité
il y a trois mois
Sinon tu fais comment pour prouver le résultat Attien ? (si $a$ est une racine de $\det(u-xI)$ alors $\ker(u-aI)$ est non-vide, quelle est la multiplicité de $a$ dans $\det(u-xI)$ ?)
Re: Stabilité
il y a trois mois
Je demandais:

Si $F$ est $u$-stable alors polynôme caractéristique $P_{u_{F}}$ divise celui de $P_{u}$

Mais est-ce que la réciproque est vraie?

De même je demandais s'il était une condition nécessaire et suffisante qui prouve la stabilité d'un sous-espace vectoriel en utilisant la notion de polynôme caractéristique.
Re: Stabilité
il y a trois mois
Attien : tu n'as pas lu la réponse de marsup qui te dit que ta question "est-ce que la réciproque est vraie ?" n'a pas de sens puisque $u_F$ n'en a pas en l'absence de l'hypothèse de stabilité !

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Stabilité
il y a trois mois
Ah oui désolé, dans le cas où $F$ n'est pas stable, $u_{F}$ est juste la restriction à $F$
Re: Stabilité
il y a trois mois
Dans ce cas, pourquoi $u_F$ serait-il un endormorphisme de $F$? Ou bien, qu'est-ce que le "polynôme caractéristique" d'une application linéaire qui n'est pas un endomorphisme?
Re: Stabilité
il y a trois mois
je n'ai pas dit que c'est un endomorphisme, j'ai juste dit que c'est la restriction à $F$.
Re: Stabilité
il y a trois mois
Dans ce cas, qu'est-ce que son polynôme caractéristique?
Re: Stabilité
il y a trois mois
Tu ne lis pas les messages en entier !! C'est quoi le polynôme caractéristique de quelque chose qui n'est pas un endomorphisme ?

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Stabilité
il y a trois mois
Bonjour
Si on veut donner un sens à la réciproque (mais quel serait l'intérêt pratique ??? ), ce serait ''si $Q\mid P_u$ alors il existe un sous-espace $F$ stable par $u$ tel que le polynôme caractéristique de $u_F$ soit $Q$''.

Il suffit (rait : il me manque un argument) de prendre $F=\ker Q(u) $ : on a bien $F$ stable par $u$, $Q(u_F) =0$ mais $Q$ est-il bien le polynôme caractéristique de $u_F$ ?

Je pense que oui, mais je n'ai pas de quoi écrire pour chercher. Je verrai ça en fin d'après-midi et si j'aboutis (ou si j'ai un contre-exemple) je rajouterai l'argument manquant.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Stabilité
il y a trois mois
Je pense plutôt que $Q$ n'est pas nécessairement le polynôme caractéristique de $u_F$, pour des bêtes raisons de dimensions et de degré, il n'y a pas de raison que la dimension de $\ker(Q(u))$ soit le degré de $Q$. Par exemple, si $u$ est un endomorphisme diagonalisable, qui a une valeur propre $\lambda$ de multiplicité $2$. Alors $X - \lambda$ divise le polynôme caractéristique de $u$, et le noyau de $u - \lambda.\mathrm{Id}$ est l'espace propre associé à $\lambda$, qui est de dimension $2$ par hypothèse. Le polynôme caractéristique de $u_F$ dans ce cas est $(X-\lambda)^2$ et non $X - \lambda$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Stabilité
il y a trois mois
side : $Q$ n'a aucune raison d'être le polynôme caractéristique de $u_F$. Prendre, par exemple, $u=0$.

Plus généralement, dès que le polynôme minimal de $u$ est plus petit que le caractéristique, on peut s'amuser avec des contre-exemples : disons que $\pi$ est le minimal, $\chi$ le caractéristique, et disons que $P$ est irréductible, de valuation $k$ dans $\pi$ et de valuation $n >k $ dans $\chi$.

On peut alors regarder $P^k$, qui divise bien $\chi$, mais ne sera pas le polynôme caractéristique de la restriction de $u$ à $\ker P^k(u) = \ker P^n(u)$

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Stabilité
il y a trois mois
Oui, effectivement, merci chat-maths.
Re: Stabilité
il y a trois mois
Merci Maxtimax (je viens de lire ce message après celui de Chatmaths).
Re: Stabilité
il y a trois mois
Pour $u\in M_n(\C)$ et $a$ une racine de $\det(u-tI)$ commence par montrer que $\ker((u-aI)^n)$ et $Im((u-aI)^n)$ sont envoyés vers eux-mêmes par $u$ puis regarde le polynôme caractéristique des deux restrictions de $u$
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 140 789, Messages: 1 377 484, Utilisateurs: 25 665.
Notre dernier utilisateur inscrit koko2000.


Ce forum
Discussions: 17 933, Messages: 176 088.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page