Dimension

L'espace vectoriel des fonctions polynomiales (disons définies sur $\mathbb R$) est engendré par la famille dénombrable : $x \mapsto x^n$, indicée par $\mathbb N$.

L'espace vectoriel des fonctions continues me semble beaucoup plus gros en terme de "dimension".

Dom : il est effectivement plus gros, il est de dimension indénombrable

HT : les deux n'ont pas le même cardinal, a fortiori ils ne sont pas isomorphes :-D
Si tu voulais dire $C^0(\mathbb R, \mathbb R)$, l'argument de cardinal ne marche plus, mais on peut quand même montrer qu'il n'y a pas de tel iso. En fait c'est déjà le cas pour le suites : $\mathbb{R^N}$ n'a pas de base dénombrable; c'est essentiellement un argument diagonal.

Pour répondre à la question initiale, pour tout ensemble $X$ il existe un espace vectoriel qui a une base de même taille que $X$, et deux bases d'un même espace ont nécessairement le même cardinal; donc s'il y a des cardinaux différents, il y a des tailles de bases (donc des dimensions) différentes.