Matrice par blocs - Inverser - Schur

Bonjour,

Soit $n, m \in \N^*$ deux entiers non nuls et $A \in M_{n,n}(K), B \in M_{n,m}(K), C \in M_{m,n}(K), D \in M_{m,m}(K)$ quatre matrices.

Théorème : Le déterminant d'une matrice carrée triangulaire par blocs est le produit des déterminants de ses blocs diagonaux - au signe près.

Ajout : comme je ne connais pas la démonstration, je ne connais pas le signe... mais bon, on doit pouvoir trouver ça dans un livre.

Si on suppose la matrice carrée $A$ inversible, alors on calcule $\displaystyle \begin{pmatrix} A&B \\ C&D\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -A^{-1}B&I_{n,n} \\ I_{m,m}&O\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} O&A \\ D-CA^{-1}B & C \end{pmatrix} $ et donc $\displaystyle det(M) det(I_{m,m})det( I_{n,n}) =\pm \det(D-CA^{-1}B) det(A).$

Si la matrice carrée $M$ est inversible, alors $\det(M) \neq 0$ et donc, puisque $\det(A)\neq 0$, on a nécessairement $\displaystyle \det(D-CA^{-1}B) \neq 0$ : la matrice carrée $\displaystyle D-CA^{-1}B$ est inversible.

Si la matrice carrée $\displaystyle D-CA^{-1}B$ est inversible, alors $\displaystyle \det(D-CA^{-1}B) \neq 0$ et donc, nécessairement, $\det(M) \neq 0$ : la matrice carrée $M$ est inversible.

Bonjour,

C'est effectivement ce que j'ai écrit. C'est sans doute vrai au signe près, non ? Donc à un facteur $(-1)^{n+m}$ des deux côtés de l'équation, non ? Si tu confimes, je modifie mon poste.