Anneaux unitaires finis

Je voulais éclaircir 2-3 choses à leur sujet.

On dispose du théorème des restes chinois, qui donne $\mathbb{Z}/ n \mathbb{Z} \simeq \displaystyle \prod_{j=1}^d \mathbb{Z}/ p_j^{k_j} \mathbb{Z}$, où $n = \displaystyle \prod_{j=1}^d p_j^{k_j}$ est la décomposition de $n$ en produit de facteurs premiers. On a aussi le théorème de structure des groupes abéliens, qui restreint aux groupes abéliens finis, affirme un résultat très proche : si $G$ est un groupe fini, il existe une unique suite croissante $(p_1^{k_1},...,p_d^{k_d})$ de puissances de nombres premiers telle que $G \simeq \displaystyle \prod_{j=1}^d \mathbb{Z}/ p_j^{k_j} \mathbb{Z}$.

Soit maintenant $A$ un anneau unitaire fini quelconque. $A$ n'a aucune raison d'être isomorphe à un $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ en tant qu'anneau, mais comme c'est en particulier un groupe abélien fini, on a $A \simeq \displaystyle \prod_{j=1}^d \mathbb{Z}/ p_j^{k_j} \mathbb{Z}$ en tant que groupes.

Ma question serait, existe-t-il forcément une structure d'anneau unitaire sur $ \displaystyle \prod_{j=1}^d\mathbb{Z}/ p_j^{k_j} \mathbb{Z}$, non nécessairement égale à la structure standard d'anneau produit, qui étende l'isomorphisme de groupes précédent en un morphisme d'anneaux ? Auquel cas il "suffirait" (oui, je sais) d'identifier le nombre de multiplications distributives unitaires possibles à définir sur un groupe abélien fini pour avoir une sorte de classification des anneaux unitaires finis.

Du coup, ça reviendrait à chercher toutes les autres multiplications sur $\mathbb{Z} /n \mathbb{Z}$ qui donnent une structure d'anneau unitaire.