Système linéaire de 3 équations

Qu’est-ce qu’une « progression par quotient » ?

Est-ce que ce qui suit répond aux questions ?

sage: var('a b c x y z p')
(a, b, c, x, y, z, p)
sage: S = [a*x-b*y+c*z-p, -b*x+c*y+a*z, c*x+a*y-b*z]
sage: D = solve(S,(x,y,z),solution_dict=1)[0]; D
{z: (a*b + c^2)*p/(a^3 - b^3 + 3*a*b*c + c^3),
 y: (b^2 - a*c)*p/(a^3 - b^3 + 3*a*b*c + c^3),
 x: (a^2 + b*c)*p/(a^3 - b^3 + 3*a*b*c + c^3)}
sage: numerator((x*z-y^2).subs(D)).factor()
b*p^2

En fait, pas tout à fait : il faudrait étudier le cas où le dénominateur $a^3 - b^3 + 3abc + c^3$ s'annule.

Bonjour,

Pour traiter le cas avec un déterminant nul, il est utile de factoriser : $\displaystyle -a^3+b^3-c^3-3 abc = {1 \over 2} (-a+b-c)((a+b)^2+(b+c)^2+(a-c)^2).$

Pour $\displaystyle (a+b)^2+(b+c)^2+(a-c)^2=0$ :
On a nécessairement $\displaystyle b=-a, c=a$ et donc $\displaystyle a(x+y+z)=p$ et $a(x+y+z)=0$ et donc $\displaystyle p=0$ et $\displaystyle a(x+y+z)=0.$
Pour $\displaystyle a=0$, tous les réels $\displaystyle x,y,z$ sont solutions : les solutions peuvent avoir la relation cherchée.
Pour $\displaystyle a \neq 0$, $\displaystyle x+y+z=0$ la relation cherchée s'écrit $\displaystyle (x,y,z)=(x,x r, x r^2)$ et donc $\displaystyle x(1+r+r^2)=0$ et donc $\displaystyle x=0$ , puis $\displaystyle x=y=z=0.$ La relation cherchée est vérifiée.

Pour $\displaystyle -a+b-c=0$ :
On a $\displaystyle a^2+b^2-ab \neq 0$ et donc $\displaystyle x=z + {a-b \over a^2+b^2-ab}p$ et $\displaystyle y=z - {b\over a^2+b^2-ab}p.$
On discute :
- si $\displaystyle r=1$, alors $\displaystyle x=y=z$. Pour $\displaystyle p=0$, les solutions conviennent. Pour $\displaystyle p \neq 0$, on a $\displaystyle x=y=z=0$ qui convient aussi.
- si $\displaystyle r \neq 1$, alors $(a-b)r^2-(a-b)r-b=0$ et les solutions conviennent pour un discriminant positif : $(a-b)(a+3b) \geq 0.$