L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Système linéaire de 3 équations
dans Algèbre
Bonjour,
Pour occuper les longues soirées d'hiver…
A+
Pour occuper les longues soirées d'hiver…
A+
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Une suite géométrique.
A+
La solution n'est pas difficile à trouver.
Reste la discussion de rigueur, plus la condition de suite géométrique stipulant, par exemple, que
$y^2 = xz$.
A+
Pour traiter le cas avec un déterminant nul, il est utile de factoriser : $\displaystyle -a^3+b^3-c^3-3 abc = {1 \over 2} (-a+b-c)((a+b)^2+(b+c)^2+(a-c)^2).$
Pour $\displaystyle (a+b)^2+(b+c)^2+(a-c)^2=0$ :
On a nécessairement $\displaystyle b=-a, c=a$ et donc $\displaystyle a(x+y+z)=p$ et $a(x+y+z)=0$ et donc $\displaystyle p=0$ et $\displaystyle a(x+y+z)=0.$
Pour $\displaystyle a=0$, tous les réels $\displaystyle x,y,z$ sont solutions : les solutions peuvent avoir la relation cherchée.
Pour $\displaystyle a \neq 0$, $\displaystyle x+y+z=0$ la relation cherchée s'écrit $\displaystyle (x,y,z)=(x,x r, x r^2)$ et donc $\displaystyle x(1+r+r^2)=0$ et donc $\displaystyle x=0$ , puis $\displaystyle x=y=z=0.$ La relation cherchée est vérifiée.
Pour $\displaystyle -a+b-c=0$ :
On a $\displaystyle a^2+b^2-ab \neq 0$ et donc $\displaystyle x=z + {a-b \over a^2+b^2-ab}p$ et $\displaystyle y=z - {b\over a^2+b^2-ab}p.$
On discute :
- si $\displaystyle r=1$, alors $\displaystyle x=y=z$. Pour $\displaystyle p=0$, les solutions conviennent. Pour $\displaystyle p \neq 0$, on a $\displaystyle x=y=z=0$ qui convient aussi.
- si $\displaystyle r \neq 1$, alors $(a-b)r^2-(a-b)r-b=0$ et les solutions conviennent pour un discriminant positif : $(a-b)(a+3b) \geq 0.$