Équivalence rationnelle entre deux cycles.
dans Algèbre
Bonsoir à tous,
Voici la définition que je connais sur la notion de relation d'équivalence entre deux cycles algébriques :
The Chow group of $ X $ is the group of cycles of $ X $ modulo rational équivalence.
Informally, two cycles $ A_0 , A_1 \in Z(X) $ are rationnally équivalent if there is a rationnally parametrized family of cycles interpolating between them - that is, a cycle on $ \mathbb{P}^1\times X $ whose restrictions to two fibers $ \{ t_0 \} \times X $ and $ \{ t_1 \} \times X $ are $ A_0 $ and $ A_1 $. Here is the formal definition :
Définition : Let $ \mathrm{Rat} (X) \subset Z(X) $ be the subgroup generated by differences of the forme :
$$ \langle \Phi \cap ( \{ t_0 \} \times X ) \rangle - \langle \Phi \cap ( \{ t_1 \} \times X ) \rangle $$
where $ t_0 , t_1 \in \mathbb{P}^1 $ and $ \Phi $ is a subvariety of $ \mathbb{P}^1 \times X $ not contained in any fiber $ \{ t \} \times X $.
$ \langle \Phi \cap ( \{ t_0 \} \times X ) \rangle $ is the cycle associated ti the subvariety $ \Phi \cap ( \{ t_0 \} \times X ) $.
We say that two cycles are rationnally equivalent if their difference is in $ \mathrm{Rat} (X) $, and we say that two subschemes are rationnally equivalent if their associated cycles are rationnally equivalent.
Exemple : A hyperbola and the union of two lines in $ \mathbb{P}^2 $ are rationnally equivalent.
Problème :
La définition çi - dessus que j'ai fourni sur la notion de relation d'équivalence entre deux cycles est une notion théorique purement abstraite sans application concrète, mais moi je cherche une définition purement algébrique. Autrement dit, je cherche à savoir si $ [V (f) ] $ et $ [V(g) ] $ sont rationnellement équivalent ( i.e : $ \langle V(f) \rangle \sim \langle V(g) \rangle $ ), existe-t-il une relation de passage de $ f $ vers $ g $ et inversement ( groupe de matrices ou un truc comme ça ? ) ?
Merci infiniment.
Voici la définition que je connais sur la notion de relation d'équivalence entre deux cycles algébriques :
The Chow group of $ X $ is the group of cycles of $ X $ modulo rational équivalence.
Informally, two cycles $ A_0 , A_1 \in Z(X) $ are rationnally équivalent if there is a rationnally parametrized family of cycles interpolating between them - that is, a cycle on $ \mathbb{P}^1\times X $ whose restrictions to two fibers $ \{ t_0 \} \times X $ and $ \{ t_1 \} \times X $ are $ A_0 $ and $ A_1 $. Here is the formal definition :
Définition : Let $ \mathrm{Rat} (X) \subset Z(X) $ be the subgroup generated by differences of the forme :
$$ \langle \Phi \cap ( \{ t_0 \} \times X ) \rangle - \langle \Phi \cap ( \{ t_1 \} \times X ) \rangle $$
where $ t_0 , t_1 \in \mathbb{P}^1 $ and $ \Phi $ is a subvariety of $ \mathbb{P}^1 \times X $ not contained in any fiber $ \{ t \} \times X $.
$ \langle \Phi \cap ( \{ t_0 \} \times X ) \rangle $ is the cycle associated ti the subvariety $ \Phi \cap ( \{ t_0 \} \times X ) $.
We say that two cycles are rationnally equivalent if their difference is in $ \mathrm{Rat} (X) $, and we say that two subschemes are rationnally equivalent if their associated cycles are rationnally equivalent.
Exemple : A hyperbola and the union of two lines in $ \mathbb{P}^2 $ are rationnally equivalent.
Problème :
La définition çi - dessus que j'ai fourni sur la notion de relation d'équivalence entre deux cycles est une notion théorique purement abstraite sans application concrète, mais moi je cherche une définition purement algébrique. Autrement dit, je cherche à savoir si $ [V (f) ] $ et $ [V(g) ] $ sont rationnellement équivalent ( i.e : $ \langle V(f) \rangle \sim \langle V(g) \rangle $ ), existe-t-il une relation de passage de $ f $ vers $ g $ et inversement ( groupe de matrices ou un truc comme ça ? ) ?
Merci infiniment.
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Réponses
Si $g$ est une fonction rationnelle $X\to \Bbb{A}^2$ quelle $\Phi$ faut-il regarder ?
Pour ta question numéro $ 1) $ :
Si $ f : X \to \mathbb{A}^1 $ est une fonction rationnelle, alors $ \mathrm{div} (f) \sim 0 $ si et seulement si $ \langle \mathrm{zeros} \rangle \sim \langle \mathrm{poles} \rangle $ ( i.e : $ [ \mathrm{zeros} ] = [ \mathrm{poles} ] $ ). D'où, pour tout $ \Phi \subset \mathbb{P}^1 \times X $ sous variété $ ( \Phi \cap \langle \mathrm{zeros} \rangle ) - ( \Phi \cap \langle \mathrm{poles} \rangle ) \sim 0 $. Non ?
Pour ta question numéro $ 2) $, je ne sais pas ce qui la différencie de la première question. Peux tu me l'expliquer s'il te plait ?
Et enfin, quel rapport entre tes deux questions que tu m'as posé, et mon problème que j'ai expliqué au début de ce fil ?
Merci d'avance.
T'as jamais vu le groupe de Picard d'une courbe elliptique ????
Non. J'apprends la géométrie algébrique dans le cadre de la théorie de Hodge, mais pas la théorie des courbes elliptiques. Donc, je ne connais rien sur les courbes elliptiques.
Oui, je connais le groupe de Picard d'une courbe et d'une variété algébrique en général.
Si $ C $ est une courbe, alors, le groupe de Chow de $ C $ est le groupe de Picard de $ C $ : $ \mathrm{CH}_0 (C) = \mathrm{Pic} (C) $, et on a le groupe des $ 0 $ - cycles de $ C $ est le groupe des diviseurs de $ C $ : $ Z_0 (C) = \mathrm{Div} (C) $. Non ?
Qu'est ce que : $ Div(f) \sim \emptyset $ ? Est ce que ce n'est pas la meme chose que $ \mathrm{div} (f) \sim 0 $ avec : $ \mathrm{div} (f) $ est un $ k $ - cycle qu'on appelle diviseur ( principal ) de $ f $ ?
En meme temps tu dois te demander comment ça se complique pour les variétés de dimension $\ge 2$ ainsi que pour les variétés non lisses non complètes, et déterminer aussi $Pic(\Bbb{P}^2)$.
Alors seulement on pourra discuter des cycles de codimenison $\ge 2$ et du groupe de Chow.
Merci infiniment.
Je fais une digression, mais je crois que le point suivant mérite d'être rappelé.
Si f est un morphisme plat de X dans Y, alors pour V et W deux sous-variétés rationnellement équivalentes de Y, leurs images réciproques par f sont rationnellement équivalentes dans X.
Dans le cas où Y est la droite projective et où V, W sont deux points, on retrouve la définition habituelle d'équivalence rationnelle.
Voir pour cela le livre de Fulton (Intersection Theory), lemme 1.7.1 et théorème 1.7. pages 18 et 19.
Noter que pour lui, plat sous-entend de dimension relative constante.
Cordialement.
$\Phi = \{ (F(p),p),p\in E\}$ de $\Bbb{P}^1\times E$, sa restriction à $[0:1]\times E$ ce sont les zéros de $f$ et sa restriction à $[1:0]\times E$ ce sont les pôles de $f$.
La difficulté c'est que c'est la restriction au sens des schémas : la restriction de $\Phi$ à $[0:1]\times E$ est définie par une équation algébrique qui encode la multiplicité des zéros de $f$.
Savoir si un cycle est $\sim 0$ c'est la généralisation de Riemann Roch : c'est un problème compliqué, qu'on commence d'abord par étudier dans le cas des courbes.