Corps de décomposition

adena14 · January 2020

Bonjour, j'ai trouvé cette question dans un cours et je n'arrive pas à la résoudre: on considère deux polynômes irréductibles sur un corps $K$ tels que leurs corps de décomposition sont égaux. Il faut prouver que les polynômes ont alors le même degré, ou bien si ce n'est pas le cas trouver un contre-exemple (l'énoncé ne dit pas si c'est vrai ou non). Mon intuition est que c'est vrai, parce que je ne parviens pas à trouver de contre-exemple sur des polynômes irréductibles "simples", càd des polynômes pour lesquels il existe un critère d'irréductibilité (Eisenstein, ou des polynômes cyclotomiques). En supposant donc que l'énoncé est vrai, je bloque sur la preuve… a priori il n'y a pas de raisons que les polynômes aient les mêmes racines donc je n'ai pas cherché de ce côté, et je ne parviens pas à voir que l'un divise forcément l'autre ou quelque chose comme ça. Suis-je sur la bonne piste ? Je ne serais contre un coup de pouce

Chat-maths · January 2020

Étant donné un polynôme $P$ irréductible sur $k[X]$ pour un corps $k$, comment définis-tu $K$, le corps de décomposition de $P$? Si tu sais comment le construire, peux-tu en construire une base?

JLT · January 2020

Quel est le degré sur $\Q$ du corps de décomposition de $X^3-2$ ?

Poirot · January 2020

C'est faux en général. Par exemple le corps de décomposition de $X^3-2$ est $\mathbb Q(j, \sqrt[3]{2})$, qui est de degré $6$ sur $\mathbb Q$, mais d'après le théorème de l'élément primitif, on peut trouver $\theta \in \overline{\mathbb Q}$ tel que $\mathbb Q(j, \sqrt[3]{2}) = \mathbb Q(\theta)$, et le polynôme minimal de $\theta$ est de degré $6$ sur $\mathbb Q$ puisque $\mathbb Q(j, \sqrt[3]{2}) / \mathbb Q$ est galoisienne.

Chat-maths · January 2020

Mazette!

J'étais bien fatigué et j'ai confondu le corps de décomposition avec le corps de rupture. J'allais poster le contre-exemple de Poirot en me rendant compte de mon erreur, mais visiblement, j'ai été battu en vitesse.

adena14 · January 2020

Ah oui effectivement, je n'avais pas pensé à utiliser le théorème de l'élément primitif de cette manière, du coup ca ne m'étonne pas que je n'étais pas capable de trouver un contre-exemple explicite si il faut passer par là. Aussi il est important de préciser que l'extension est galoisienne, puisque cela assure que $\mathbb{Q}(\theta)$ est bien le coprs de décomposition du polynôme minimal de $\theta$ sur $\mathbb{Q}$, si j'ai bien compris

Poirot · January 2020

C'est ça !

JLT · January 2020

De manière explicite : soit $P(x)=x^3-2$ et $Q(x)=x^{6}+3 x^{5}+6x^{4}+3 x^{3}+9x+9$, alors $P$ et $Q$ ont le même corps de décomposition. Les racines de $Q$ sont $\sqrt[3]{2}j^k+j^\ell$ ($k\in \{0,1,2\}$ et $\ell\in \{1,2\})$.

AP · January 2020

Bonjour
Pour les curieux, le polynôme donné par JLT peut s'obtenir comme résultant $R$ de $P_1(Y)$ et de $P_2(X-Y)$ avec $P_1(X)=X^2+X+1$ et $P_2(X)=X^3-2$ : il est de degré $6$.
Et $R$ a pour racines tout $a+b$ avec $a$ racine de $P_1$ et $b$ racine de $P_2$ car $R(a+b)$ est le résultant de $P_1(Y)$ et $P_2(a+b-Y)$ , lesquels ont $a$ comme racine commune.
Il est certain que $R$ est irréductible sur $\Q$ car les degrés de $a$ et $b$ sont premiers entre eux, et d'après un théorème d'Isaac, $a+b$ est de degré $2 \times 3$.
Bien sûr, on peut le prouver directement car ici les racines de $R$ sont connues : on peut alors obtenir sa factorisation en trois irréductibles sur $\R$ et conclure.

Poirot · January 2020

Ou alors le marteau-pilon : le théorème d'Isaacs implique que $\mathbb Q(\sqrt[3]{2} + j)$ est de degré $3 \times 2$ sur $\mathbb Q$ car $2$ et $3$ sont premiers entre eux, d'où le résultat. :-D

AP · January 2020

Bonsoir
Il me semble que c'est exactement ce que j'ai dit au sujet d'Isaacs ( sans rajouter de qualificatif)?

Poirot · January 2020

Je n'avais lu que la première phrase, mea culpa !

Corps de décomposition

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