Donner une condition nécessaire et suffisante

Bonjour,

Ta réponse pour la 2) (a) n'est pas satisfaisante.
Qui est $f$ que tu manipules dès la première ligne ?
As-tu réellement montré l'équivalence que tu mentionnes à la toute fin de ton raisonnement ?
Sauf erreur de ma part, tu sembles confondre condition nécessaire et condition nécessaire et suffisante...
Connais-tu le raisonnement par Analyse-Synthèse ?
(l'exercice auquel tu t'attaques n'est pas du tout facile pour un élève de la voie E, même de bon niveau !)

J'ai peut-être été ambigu au-dessus. Il faut lire "$f$ est un automorphisme de $\mathcal M_2(\mathbb R)$ si et seulement si pour toute famille libre $\mathcal F$ de $\mathcal M_2(\mathbb R)$, la famille image par $\mathcal F$ est libre". Ça ne marche que pour des endomorphismes bien sûr, ou avec des applications linéaires entre espaces de même dimension finie, en remplaçant le mot automorphisme par isomorphisme.

Un raisonnement par analyse-synthèse procéderait ainsi :

Analyse : Supposons qu'il existe un endomorphisme $f$ de $\mathcal M_2(\mathbb R)$ tel que $f(A_1)=B_1, f(A_2)=B_2, f(A_3)=B_3$ et $f(A_4)=B_4$. Alors, puisque $A_2 = A_1 - A_3$, on a $B_2 = f(A_2) = f(A_1 - A_3) = f(A_1) - f(A_3) = B_1 - B_3$ par linéarité de $f$. De même, $A_4=A_1+A_3$ donc $B_4=f(A_4) = f(A_1) + f(A_3) = B_1 + B_3$.

Synthèse : Supposons que $B_2 = B_1 - B_3$ et $B_4 = B_1 + B_3$. Soit $f$ un endomorphisme de $\mathcal M_2(\mathbb R)$ tel que $f(A_1)=B_1$ et $f(A_3)=B_3$, ce qui existe car $\{A_1, A_3\}$ est libre. Alors par linéarité, on a $f(A_2) = f(A_1 - A_3) = f(A_1) - f(A_3) = B_1 - B_3 = B_2$ et de même $f(A_4) = B_4$.

Conclusion : une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un endomorphisme $f$ de $\mathcal M_2(\mathbb R)$ tel que $f(A_1)=B_1, f(A_2)=B_2, f(A_3)=B_3$ et $f(A_4)=B_4$ est que $B_2 = B_1 - B_3$ et $B_4 = B_1 + B_3$.

Imaginons que $\{A_1, A_3\}$ ne soit pas libre, disons que $A_3 = \alpha A_1$ avec $\alpha \neq 0$. Alors pour tout endomorphisme $f$ de $\mathcal M_2(\mathbb R)$ on a $f(A_3) = \alpha f(A_1)$. Puisque $B_1$ et $B_3$ sont quelconques, il n'y a aucune raison que $B_3 = \alpha B_1$, et donc aucune chance que l'on trouve un endomorphisme $f$ de $\mathcal M_2(\mathbb R)$ tel que $f(A_1)=B_1$ et $f(A_3)=B_3$.

Bon là c'est pour motiver pourquoi il est important de remarquer que $\{A_1, A_3\}$ est libre. Maintenant, prouvons que l'on peut effectivement trouver un tel $f$.

Puisque $\{A_1, A_3\}$ est libre, le théorème de la base incomplète permet de trouver deux matrices $M, M'$ telles que $\{A_1, A_3, M, M'\}$ soit une base de $\mathcal M_2(\mathbb R)$ (ou plus explicitement on pourrait prendre par exemple $M = \begin{pmatrix}1&0\\0&0 \end{pmatrix}$ et $M = \begin{pmatrix}0&1\\0&0 \end{pmatrix}$). Alors l'application linéaire $$xA_1 + yA_3 + wM + zM' \mapsto xB_1 + yB_3$$ répond au problème.