Extension de corps

La question porte simplement sur le corps de rupture reuns...

Dans ce cas la réponse est facile. Soit $P \in K[X]$ irréductible, avec $K$ un corps. Alors on peut construire le (il est unique à isomorphisme près) corps de rupture de $P$ sur $K$ de la manière suivante : $F = K[X]/PK[X]$. $P$ étant irréductible, l'idéal $PK[X]$ est maximal et donc $F$ est bien un corps. C'est une extension de corps de $K$ puisqu'on a un morphisme d'inclusion $K \hookrightarrow K[X]/PK[X]$ qui envoie $x \in K$ sur sa classe dans la quotient, et la classe $\bar{X}$ de $X$ dans le quotient est bien évidemment une racine de $P$ dans $F$. De plus, si $P$ est de degré $n$ disons, il est facile de voir par division euclidienne que $1, \bar{X}, \bar{X}^2, \dots, \bar{X}^{n-1}$ est une $K$-base de $F$. Plus précisément, soit $Q \in K[X]$ et notons $Q=AP+R$ sa division euclidienne par $P$ dans $K[X]$. Alors on a $\overline Q = \overline R$ dans $K[X]/PK[X]$ et comme $R$ est de degré $< n$, on a que $\overline{Q}$ est combinaison linéaire de $1, \bar{X}, \bar{X}^2, \dots, \bar{X}^{n-1}$. La liberté de la famille est évidente. En pratique, on ne parle pas de classe de $X$ dans le quotient, on préfère donner des petits noms aux racines ainsi construites.

Pour rendre ça plus concret, prenons $K = \mathbb R$ et $P = X^2+1$. La construction ci-dessus te donne une extension de degré $2$ de $\mathbb R$ dans laquelle le polynôme $X^2+1$ admet une racine, notons-la $i$ (au hasard...). Une $\mathbb R$-base de ce corps est alors $1, i$, où $i^2=-1$. On retombe sur le corps des nombres complexes !

Reprenons maintenant l'exemple de reuns, $K=\mathbb Q$ et $P=X^3-2$. Alors on construit le corps de rupture $\mathbb Q(\sqrt[3]{2})$ comme ci-dessus. Une $\mathbb Q$-base est donc $1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}^2$, mais comme $\mathbb Q(\sqrt[3]{2}) \subset \mathbb R$, on voit que $P$ n'a pas toutes ses racines dans $\mathbb Q(\sqrt[3]{2})$, il manque $\sqrt[3]{2} e^{\frac{2i\pi}{3}}$ par exemple. C'est pour ça qu'il existe également une notion de corps de décomposition d'un polynôme, dans lequel on aura adjoint toutes les racines possibles.

Dire "LE" corps de rupture est un abus de langage, dis plutôt "UN" corps de rupture.

À noter d'ailleurs que cette notion n'est pas clairement présente dans les cours anglo-saxons de théorie des corps (d'ailleurs il n'y a pas de traduction directe de "corps de rupture", sauf erreur), ceux-ci mettant en fait assez rapidement l'accent sur le "splitting field", i.e. "corps de décomposition" qui, lui, est unique à isomorphisme près.

Oui.