Un seul p-Sylow

Un conjugué d'un $p$-Sylow est un $p$-Sylow (c'est un sous-groupe et il a le même ordre). S'il y a un seul $p$-Sylow $S$, c'est que tout conjugué de $S$ est $S$.

Version en symboles : soit $S$ le $p$-Sylow. Pour tout $g$ dans le groupe, $gSg^{-1}$ est un $p$-Sylow. S'il n'y a qu'un seul $p$-Sylow, c'est que $gSg^{-1}=S$. Ainsi, $S$ est distingué.

Visiblement...

D'abord, le conjugué d'un $p$-Sylow est un $p$-Sylow parce que le conjugué d'un sous-groupe est un sous-groupe et que la conjugaison est une bijection donc le conjugué d'un sous-groupe a le même ordre que le sous-groupe. Si le groupe a pour ordre $p^kq$ avec $q$ premier à $p$, le conjugué d'un $p$-Sylow est donc un sous-groupe d'ordre $p^k$ : c'est un Sylow !

Je ne vois pas où tu vois « il existe » dans ce message.

En effet. C'est pourquoi, pour tout $g$, $gHg^{-1}$ est conjugué à $H$...