Intersection de sous-corps
Bonjour, j'ai un peu de mal avec cet exercice: soient $m, n$ deux naturels premiers entre eux, montrer que $\mathbb{Q}(\zeta_m) \cap \mathbb{Q}(\zeta_n) = \mathbb{Q}$. Je ne connais pas le degré de $\mathbb{Q}(\zeta_m) \cap \mathbb{Q}(\zeta_n)$ sur $\mathbb{Q}$ donc cet argument ne marche pas, et décrire explicitement les éléments me paraît laborieux. J'ai pensé regarder l'inclusion via les groupes de Galois, en utilisant que
$\mathbb{Q}(\zeta_m) \cap \mathbb{Q}(\zeta_n)=\mathbb{Q}(\zeta_{mn})^{H} \cap \mathbb{Q}(\zeta_{mn})^{H'}=\mathbb{Q}(\zeta_{mn})^{HH'}$
avec $H, H'$ les groupes de Galois considérés, mais en procédant ainsi je ne vois pas bien quels sont ces groupes. Comment devrais-je faire ?
$\mathbb{Q}(\zeta_m) \cap \mathbb{Q}(\zeta_n)=\mathbb{Q}(\zeta_{mn})^{H} \cap \mathbb{Q}(\zeta_{mn})^{H'}=\mathbb{Q}(\zeta_{mn})^{HH'}$
avec $H, H'$ les groupes de Galois considérés, mais en procédant ainsi je ne vois pas bien quels sont ces groupes. Comment devrais-je faire ?
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Réponses
Donc $\zeta_{mn} \mapsto \zeta_{mn}^k$ fixe $\zeta_m$ si et seulement si $\zeta_{mn}^{nk} = \zeta_{mn}^n$, soit $nk = n \mod {mn}$, ou encore $k = 1\mod m$.
Donc $H$ est le noyau de $(\Z/ mn\Z)^\times \to (\Z/m\Z)^\times$, soit par le théorème des restes chinois, $(\Z/n\Z)^\times$ dans l'identification $(\Z/mn\Z)^\times \cong (\Z/m\Z)^\times \times (\Z/n\Z)^\times$.
On calcule de même $H'$, et on obtient une expression simple de $HH'$.
Je n'ai pas fait de Galois depuis longtemps donc je me trompe peut-être.
$$
\overbrace {[\Q(\zeta_n) (\zeta_m) : \Q(\zeta_n)]}^{\displaystyle {(3)}}
\quad \buildrel {\displaystyle {(1)}} \over \le \quad [\Q(\zeta_m) : K]
\quad \buildrel {\displaystyle {(2)}} \over \le \quad
\overbrace{[\Q(\zeta_m) : \Q] }^{\displaystyle {(4)}}
$$A. Justifier l'inégalité (1) puis (2)
B. Que vaut le degré (3) ? Note : un peu de travail pour ce point.
C. Et le degré (4) ?
D. Conclure.
E. Qu'en est-il si l'on ne suppose plus $n \wedge m = 1$ ? Indication : introduire $d = n \wedge m$ (le pgcd) et $e = n \vee m$ (le ppcm).
L'inégalité $(2)$ vient de la multiplicativité des degrés, et $[K:Q] \geq 1$
On a l'inégalité $(1)$ car $K \subset Q(\zeta_n)$ donc $K[X] \subset Q(\zeta_n)[X]$, d'où $P_{\zeta_m, Q(\zeta_n)}$ divise $P_{\zeta_m, K}$ ce qui donne $[Q(\zeta_n)(\zeta_m):Q(\zeta_n)] \leq [K(\zeta_m):K]$, et $K(\zeta_m) \subset Q(\zeta_m)$ entraîne $[K(\zeta_m):K] \leq [Q(\zeta_m):K]$.
Pour le degré $(3)$, on utilise la multiplicativité des degrés et le fait que $Q(\zeta_n, \zeta_m)=Q(\zeta_{nm})$ vu que $m$ et $n$ sont premiers entre eux pour trouver $[Q(\zeta_n)(\zeta_m):Q(\zeta_n)]=\frac{\varphi{(mn)}}{\varphi(n)}$. Mais on a aussi $\varphi{(mn)}=\varphi{(m)} \varphi{(n)}$ car $\mathrm{pgcd}(m, n)=1$, donc finalement $[Q(\zeta_n)(\zeta_m):Q(\zeta_n)]= \varphi(m)=(4)$.
Par encadrement, on en déduit $[Q(\zeta_m):K]= \varphi(m)= [Q(\zeta_m):Q]$, ou encore $[K:Q]=1$ ssi $K=Q$.
Ce qui m'ennuie ici c'est que je n'ai pas formellement vu certains résultats sur ces extensions, par exemple je n'ai pas vu que $[Q(\zeta_n):Q]= \varphi(n)$, je le sais quand même mais normalement je ne suis pas supposé l'utiliser.
j'ai essayé d'adapter les arguments évoqués ici pour démontrer $\mathbb{Q}[\zeta_n] \cap \mathbb{Q}[\zeta_m]=\mathbb{Q}[\zeta_d]$ où $d=pgcd (m,n)$ mais n'y suis pas arrivé. Est-ce possible ? Est-ce vrai ?
Je bute sur un point de la démonstration.
$$[K[x,y] \ : \ K]=\frac{[ \ K[x] \ : \ K \ ] . [ \ K[y] \ : \ K \ ]}{[ \ K[x] \cap K[y] \ : \ K \ ]}$$
$$
\varphi(n)\varphi(m) = \varphi(n \wedge m) \varphi(m \vee m) \quad \text{avec}\quad \wedge \text{ le pgcd et } \vee \text{ le ppcm}
$$Cette relation devrait d'ailleurs être dégagée. Et on en aimerait une preuve plus structurelle.
Il est tard donc je ne le fais pas, mais à vue de nez, en remplaçant $mn$ par $m\lor n$, on doit pouvoir faire une analyse similaire et déterminer $H,H'$ sans trop de souci, et donc $HH'$; non ?
En fait j'ai mal posé le problème, il manquait des hypothèses, à savoir que $K[x]$, $K[y]$ et $K[x,y]$ sont des extensions normales de $K$.
J'ai depuis résolu ce point en considérant un isomorphisme entre $Gal(K[x,y] \ | \ K)$ et $Gal(K[x] \ | \ K) \times Gal(K[y] \ | \ K)$, ce qui je crois était suggéré par Martimax.
Quant au document de Conrad, je travaillais justement dessus et c'est en étudiant la démonstration évoquée que j'ai rencontré cette difficulté.
Comme personne ne s'y est collé à ton approche, je m'en suis chargé hier. J'attache. Attention, c'est un BROUILLON destiné à mézigue (extrait d'une note perso).
Mais la vraie vérité, elle est ailleurs.
$\bullet$ D'abord, au début, j'étais CONTRE le fait d'utiliser la théorie de Galois. Cf par exemple, Tauvel, qui traite le cas $n \wedge m = 1$ sans théorie de Galois. La preuve que j'ai fournie dans un post de ce fil (flemme de pointer) vient de lui et s'adapte assez facilement. A condition de montrer au préalable que $\varphi(n) \varphi(m) = \varphi(n \wedge m) \varphi(n \vee m)$, ce que l'on peut faire par un calcul direct.
$\bullet$ Il y avait aussi la question que je me suis posée : peut-on fournir une preuve de l'égalité $\varphi(n) \varphi(m) = \varphi(n \wedge m) \varphi(n \vee m)$ de manière structurelle ? La réponse est oui mais cela ne se voit pas dans la note de K. Conrad in https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/galoistheory/cyclotomic.pdf, theorem 3.4 dans lequel il y à la fois utilisation de Galois et un calcul direct de $\varphi(n) \varphi(m) = \varphi(n \wedge m) \varphi(n \vee m)$
$\bullet$ Et enfin et surtout. Si je fais ce post, c'est à cause de ``l'enfant''. L'enfant que nous sommes tous vis-à-vis d'une théorie inconnue. Doit-on dire à l'enfant : $\Q(\zeta_n) \cap \Q(\zeta_m) = \Q(\zeta_{n \wedge m})$, tu ne peux pas comprendre si tu n'as pas fait de la théorie de Galois.
Si on peut s'en passer (de la théorie de Galois), ne doit pas le dire, le signaler ? Dans le but de parler à plus de monde possible. Je rêve ?
$\bullet$ D'ailleurs, pour illustrer ce que je raconte (le coup de l'enfant), j'ai un exemple qui me semble pertinent et qui est lié à la théorie du corps de classes, en liaison avec cette histoire d'intersection cyclotomique. Plus si ...
Il est un peu plus de midi et je n'ai pas bu.
Kronecker-Weber réduit de nos jours à une simple application de la théorie du corps de classes ?
PS : probablement que Maxtimax a loupé le message. Initialement, l'idée (galoisienne) venait de lui tandis que moi j'étais contre à cause des enfants (on est toujours enfant vis-à-vis de quelque chose dans ce métier, bien sûr c'est égoïste car c'est à moi que je pense).