Intersection de sous-corps

Tu sais que le degré de l'intersection divise le degré de chacun des corps, n'est-ce pas ?

Suis-je distrait !

Si tu connais un peu de théorie algébrique des nombres, on peut aussi utiliser le fait que les premiers qui se ramifient dans $\mathbb Q(\zeta_m)$ divisent $m$, et ceux qui se ramifient dans $\mathbb Q(\zeta_n)$ divisent $n$, de sorte que $\mathbb Q(\zeta_m) \cap \mathbb Q(\zeta_n)$ est non ramifiée sur $\mathbb Q$, et donc est égale à $\mathbb Q$.

Comme l'a justement remarqué Michel_V, le polynôme minimal de $\zeta_{mn}$ est le polynôme cyclotomique $\Phi_{mn}$ et pas $X^{mn}-1$.

Sans théorie de Galois (et sans donner complètement la solution). Soit $K = \Q(\zeta_n) \cap \Q(\zeta_m)$
$$
\overbrace {[\Q(\zeta_n) (\zeta_m) : \Q(\zeta_n)]}^{\displaystyle {(3)}}
\quad \buildrel {\displaystyle {(1)}} \over \le \quad [\Q(\zeta_m) : K]
\quad \buildrel {\displaystyle {(2)}} \over \le \quad
\overbrace{[\Q(\zeta_m) : \Q] }^{\displaystyle {(4)}}
$$A. Justifier l'inégalité (1) puis (2)
B. Que vaut le degré (3) ? Note : un peu de travail pour ce point.
C. Et le degré (4) ?
D. Conclure.

E. Qu'en est-il si l'on ne suppose plus $n \wedge m = 1$ ? Indication : introduire $d = n \wedge m$ (le pgcd) et $e = n \vee m$ (le ppcm).

Le fait que $[\mathbb Q(\zeta_n):\mathbb Q]= \varphi(n)$ est équivalente à l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur $\mathbb Q$.

Bonjour,
j'ai essayé d'adapter les arguments évoqués ici pour démontrer $\mathbb{Q}[\zeta_n] \cap \mathbb{Q}[\zeta_m]=\mathbb{Q}[\zeta_d]$ où $d=pgcd (m,n)$ mais n'y suis pas arrivé. Est-ce possible ? Est-ce vrai ?

Et en fait non.

Je bute sur un point de la démonstration.
$$[K[x,y] \ : \ K]=\frac{[ \ K[x] \ : \ K \ ] . [ \ K[y] \ : \ K \ ]}{[ \ K[x] \cap K[y] \ : \ K \ ]}$$

La méthode qui consiste à identifier les groupes de Galois intéressants (que j'ai proposée au début en suivant ton tout premier post) ne s'adapte-t-elle pas ?
Il est tard donc je ne le fais pas, mais à vue de nez, en remplaçant $mn$ par $m\lor n$, on doit pouvoir faire une analyse similaire et déterminer $H,H'$ sans trop de souci, et donc $HH'$; non ?

Coucou Maxtimax

Comme personne ne s'y est collé à ton approche, je m'en suis chargé hier. J'attache. Attention, c'est un BROUILLON destiné à mézigue (extrait d'une note perso).

Mais la vraie vérité, elle est ailleurs.

$\bullet$ D'abord, au début, j'étais CONTRE le fait d'utiliser la théorie de Galois. Cf par exemple, Tauvel, qui traite le cas $n \wedge m = 1$ sans théorie de Galois. La preuve que j'ai fournie dans un post de ce fil (flemme de pointer) vient de lui et s'adapte assez facilement. A condition de montrer au préalable que $\varphi(n) \varphi(m) = \varphi(n \wedge m) \varphi(n \vee m)$, ce que l'on peut faire par un calcul direct.

$\bullet$ Il y avait aussi la question que je me suis posée : peut-on fournir une preuve de l'égalité $\varphi(n) \varphi(m) = \varphi(n \wedge m) \varphi(n \vee m)$ de manière structurelle ? La réponse est oui mais cela ne se voit pas dans la note de K. Conrad in https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/galoistheory/cyclotomic.pdf, theorem 3.4 dans lequel il y à la fois utilisation de Galois et un calcul direct de $\varphi(n) \varphi(m) = \varphi(n \wedge m) \varphi(n \vee m)$

$\bullet$ Et enfin et surtout. Si je fais ce post, c'est à cause de ``l'enfant''. L'enfant que nous sommes tous vis-à-vis d'une théorie inconnue. Doit-on dire à l'enfant : $\Q(\zeta_n) \cap \Q(\zeta_m) = \Q(\zeta_{n \wedge m})$, tu ne peux pas comprendre si tu n'as pas fait de la théorie de Galois.
Si on peut s'en passer (de la théorie de Galois), ne doit pas le dire, le signaler ? Dans le but de parler à plus de monde possible. Je rêve ?

$\bullet$ D'ailleurs, pour illustrer ce que je raconte (le coup de l'enfant), j'ai un exemple qui me semble pertinent et qui est lié à la théorie du corps de classes, en liaison avec cette histoire d'intersection cyclotomique. Plus si ...

Il est un peu plus de midi et je n'ai pas bu.

Non, quelque chose de beaucoup-beaucoup-beaucoup-..... plus simple : l'histoire du conducteur cyclotomique $f_K$ d'une sous-extension cyclotomique $K/\Q$, qui gouverne la ramification de $K/\Q$.

PS : probablement que Maxtimax a loupé le message. Initialement, l'idée (galoisienne) venait de lui tandis que moi j'étais contre à cause des enfants (on est toujours enfant vis-à-vis de quelque chose dans ce métier, bien sûr c'est égoïste car c'est à moi que je pense).