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Intersection de sous-corps

Envoyé par Michel_V 
Intersection de sous-corps
il y a trois mois
Bonjour, j'ai un peu de mal avec cet exercice: soient $m, n$ deux naturels premiers entre eux, montrer que $\mathbb{Q}(\zeta_m) \cap \mathbb{Q}(\zeta_n) = \mathbb{Q}$. Je ne connais pas le degré de $\mathbb{Q}(\zeta_m) \cap \mathbb{Q}(\zeta_n)$ sur $\mathbb{Q}$ donc cet argument ne marche pas, et décrire explicitement les éléments me paraît laborieux. J'ai pensé regarder l'inclusion via les groupes de Galois, en utilisant que
$\mathbb{Q}(\zeta_m) \cap \mathbb{Q}(\zeta_n)=\mathbb{Q}(\zeta_{mn})^{H} \cap \mathbb{Q}(\zeta_{mn})^{H'}=\mathbb{Q}(\zeta_{mn})^{HH'}$
avec $H, H'$ les groupes de Galois considérés, mais en procédant ainsi je ne vois pas bien quels sont ces groupes. Comment devrais-je faire ?
Re: Intersection de sous-corps
il y a trois mois
Tu sais que le degré de l'intersection divise le degré de chacun des corps, n'est-ce pas ?
Re: Intersection de sous-corps
il y a trois mois
En effet mais le degré de $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ resp. $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ sur $\mathbb{Q}$ est $\varphi(m)$ resp. $\varphi(n)$ avec $\varphi$ indicatrice d'Euler, donc cela implique que $[\mathbb{Q}(\zeta_m) \cap \mathbb{Q}(\zeta_n) : \mathbb{Q}]$ divise $\mathrm{pgcd}(\varphi(m), \varphi(n))$ qui n'est pas forcément $1$, par exemple si $m$ et $n$ sont premiers impairs
Re: Intersection de sous-corps
il y a trois mois
Suis-je distrait !
Re: Intersection de sous-corps
il y a trois mois
$\zeta_m = \zeta_{mn}^n $, non ?

Donc $\zeta_{mn} \mapsto \zeta_{mn}^k$ fixe $\zeta_m$ si et seulement si $\zeta_{mn}^{nk} = \zeta_{mn}^n$, soit $nk = n \mod {mn}$, ou encore $k = 1\mod m$.

Donc $H$ est le noyau de $(\Z/ mn\Z)^\times \to (\Z/m\Z)^\times$, soit par le théorème des restes chinois, $(\Z/n\Z)^\times$ dans l'identification $(\Z/mn\Z)^\times \cong (\Z/m\Z)^\times \times (\Z/n\Z)^\times$.
On calcule de même $H'$, et on obtient une expression simple de $HH'$.

Je n'ai pas fait de Galois depuis longtemps donc je me trompe peut-être.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Intersection de sous-corps
il y a trois mois
Si tu connais un peu de théorie algébrique des nombres, on peut aussi utiliser le fait que les premiers qui se ramifient dans $\mathbb Q(\zeta_m)$ divisent $m$, et ceux qui se ramifient dans $\mathbb Q(\zeta_n)$ divisent $n$, de sorte que $\mathbb Q(\zeta_m) \cap \mathbb Q(\zeta_n)$ est non ramifiée sur $\mathbb Q$, et donc est égale à $\mathbb Q$.
Re: Intersection de sous-corps
il y a trois mois
Bonjour
Via l'arithmétique des polynômes et le théorème de l'élément primitif.

Si l'intersection n'est pas $\Q$, alors l'intersection est une extension non triviale de $\Q$.
Soit alors $a$ un élément primitif, il existe alors 2 polynômes $P, Q\in \Q[X],\ 0<\deg(P)<n,\ 0<\deg(Q)<m,\ a=P(\zeta_n)=Q(\zeta_n)$ soit $P\circ X^m(\zeta_{nm}) =Q\circ X^n(\zeta_{nm}) =a$ et donc $P\circ X^m-Q\circ X^n$ est un multiple du polynôme minimal de $\zeta_{nm}$ qui compte-tenu des hypothèses est $X^{nm}-1$. Un petit calcul sur les degrés entraîne que $P\circ X^m-Q\circ X^n$ est le polynôme nul.
Si $p, q$ sont les degrés respectifs de $P, Q$ on a alors $pm=qn$ puis $n$ divise $p$ et donc $p\ge n$. Contradiction. Donc l'intersection est $\Q$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Intersection de sous-corps
il y a trois mois
Comme l'a justement remarqué Michel_V, le polynôme minimal de $\zeta_{mn}$ est le polynôme cyclotomique $\Phi_{mn}$ et pas $X^{mn}-1$.
Re: Intersection de sous-corps
il y a trois mois
Oui effectivement. Mais en reprenant à partir du polynôme nul, je ne sais pas conclure.
Et il y a peut-être même des contre-exemples.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Intersection de sous-corps
il y a trois mois
Sans théorie de Galois (et sans donner complètement la solution). Soit $K = \Q(\zeta_n) \cap \Q(\zeta_m)$
$$
\overbrace {[\Q(\zeta_n) (\zeta_m) : \Q(\zeta_n)]}^{\displaystyle {(3)}}
\quad \buildrel {\displaystyle {(1)}} \over \le \quad [\Q(\zeta_m) : K]
\quad \buildrel {\displaystyle {(2)}} \over \le \quad
\overbrace{[\Q(\zeta_m) : \Q] }^{\displaystyle {(4)}}
$$A. Justifier l'inégalité (1) puis (2)
B. Que vaut le degré (3) ? Note : un peu de travail pour ce point.
C. Et le degré (4) ?
D. Conclure.



E. Qu'en est-il si l'on ne suppose plus $n \wedge m = 1$ ? Indication : introduire $d = n \wedge m$ (le pgcd) et $e = n \vee m$ (le ppcm).
Re: Intersection de sous-corps
il y a trois mois
Le degré $(4)$ est $\varphi(m)$
L'inégalité $(2)$ vient de la multiplicativité des degrés, et $[K:Q] \geq 1$
On a l'inégalité $(1)$ car $K \subset Q(\zeta_n)$ donc $K[X] \subset Q(\zeta_n)[X]$, d'où $P_{\zeta_m, Q(\zeta_n)}$ divise $P_{\zeta_m, K}$ ce qui donne $[Q(\zeta_n)(\zeta_m):Q(\zeta_n)] \leq [K(\zeta_m):K]$, et $K(\zeta_m) \subset Q(\zeta_m)$ entraîne $[K(\zeta_m):K] \leq [Q(\zeta_m):K]$.
Pour le degré $(3)$, on utilise la multiplicativité des degrés et le fait que $Q(\zeta_n, \zeta_m)=Q(\zeta_{nm})$ vu que $m$ et $n$ sont premiers entre eux pour trouver $[Q(\zeta_n)(\zeta_m):Q(\zeta_n)]=\frac{\varphi{(mn)}}{\varphi(n)}$. Mais on a aussi $\varphi{(mn)}=\varphi{(m)} \varphi{(n)}$ car $\mathrm{pgcd}(m, n)=1$, donc finalement $[Q(\zeta_n)(\zeta_m):Q(\zeta_n)]= \varphi(m)=(4)$.
Par encadrement, on en déduit $[Q(\zeta_m):K]= \varphi(m)= [Q(\zeta_m):Q]$, ou encore $[K:Q]=1$ ssi $K=Q$.

Ce qui m'ennuie ici c'est que je n'ai pas formellement vu certains résultats sur ces extensions, par exemple je n'ai pas vu que $[Q(\zeta_n):Q]= \varphi(n)$, je le sais quand même mais normalement je ne suis pas supposé l'utiliser.
Re: Intersection de sous-corps
il y a trois mois
Le fait que $[\mathbb Q(\zeta_n):\mathbb Q]= \varphi(n)$ est équivalente à l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur $\mathbb Q$.
Re: Intersection de sous-corps
il y a trois mois
En espérant ne pas avoir écrit d'âneries cette fois-ci.
Il me manque un argument (à supposer que le reste soit juste).

Soient $P, Q$ les polynômes minimaux de $\xi_n, \xi_m$ sur $K$ en reprenant pour $K$ l'intersection comme dans les posts précédents.

On a $p:=\deg P< \frac{\dim\Q[\xi_n]} {\dim_{\Q}K},\ q:=\deg Q<\frac{\dim\Q[\xi_n]} {\dim_{\Q}K}$
Soit $S:=PQ\in K[X]$, $\ S$ annule $\xi_n,\ \xi_m$

Il me manque un argument que je n'ai pas trouvé sur Wikipedia dont j'espère qu'il est juste :

Il existe (donc à vérifier) $T\in Q[X]$ de degré au plus $\deg(S)\dim_{Q}K$ qui annule $\xi_n,\ \xi_m$ et donc $T$ est multiple de $\Phi_n,\ \Phi_m$ et comme ces polynômes sont irréductibles et non proportionnels entre eux, $T$ est multiple de $\Phi_n\Phi_m$ puis $\deg(\Phi_n\Phi_m)=\varphi(n)\varphi(m) \le \deg T\le pq\dim_Q(K) <\dim\Q[\xi_n] \dim\Q[\xi_n]=\varphi(n) \varphi(m)$ (la première inégalité car le membre de gauche divise le membre de droite) et on a une contradiction.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Intersection de sous-corps
il y a deux mois
Bonjour,
j'ai essayé d'adapter les arguments évoqués ici pour démontrer $\mathbb{Q}[\zeta_n] \cap \mathbb{Q}[\zeta_m]=\mathbb{Q}[\zeta_d]$ où $d=pgcd (m,n)$ mais n'y suis pas arrivé. Est-ce possible ? Est-ce vrai ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par watanuki.
Re: Intersection de sous-corps
il y a deux mois
bon j'ai trouvé par dimension (je n'y arrivais pas jusque là...)
Re: Intersection de sous-corps
il y a deux mois
Et en fait non.

Je bute sur un point de la démonstration.
$$[K[x,y] \ : \ K]=\frac{[ \ K[x] \ : \ K \ ] . [ \ K[y] \ : \ K \ ]}{[ \ K[x] \cap K[y] \ : \ K \ ]}$$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par watanuki.
Re: Intersection de sous-corps
il y a deux mois
Est ce que tu veux un pointeur sur une preuve (K. Conrad) ? Dans sa preuve, il utilise l'indicateur d'Euler et la relation :
$$
\varphi(n)\varphi(m) = \varphi(n \wedge m) \varphi(m \vee m) \quad \text{avec}\quad \wedge \text{ le pgcd et } \vee \text{ le ppcm}
$$Cette relation devrait d'ailleurs être dégagée. Et on en aimerait une preuve plus structurelle.
Re: Intersection de sous-corps
il y a deux mois
La méthode qui consiste à identifier les groupes de Galois intéressants (que j'ai proposée au début en suivant ton tout premier post) ne s'adapte-t-elle pas ?
Il est tard donc je ne le fais pas, mais à vue de nez, en remplaçant $mn$ par $m\lor n$, on doit pouvoir faire une analyse similaire et déterminer $H,H'$ sans trop de souci, et donc $HH'$; non ?

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Intersection de sous-corps
il y a deux mois
Bonsoir

En fait j'ai mal posé le problème, il manquait des hypothèses, à savoir que $K[x]$, $K[y]$ et $K[x,y]$ sont des extensions normales de $K$.

J'ai depuis résolu ce point en considérant un isomorphisme entre $Gal(K[x,y] \ | \ K)$ et $Gal(K[x] \ | \ K) \times Gal(K[y] \ | \ K)$, ce qui je crois était suggéré par Martimax.

Quant au document de Conrad, je travaillais justement dessus et c'est en étudiant la démonstration évoquée que j'ai rencontré cette difficulté.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par watanuki.
Re: Intersection de sous-corps
il y a deux mois
Coucou Maxtimax

Comme personne ne s'y est collé à ton approche, je m'en suis chargé hier. J'attache. Attention, c'est un BROUILLON destiné à mézigue (extrait d'une note perso).

Mais la vraie vérité, elle est ailleurs.

$\bullet$ D'abord, au début, j'étais CONTRE le fait d'utiliser la théorie de Galois. Cf par exemple, Tauvel, qui traite le cas $n \wedge m = 1$ sans théorie de Galois. La preuve que j'ai fournie dans un post de ce fil (flemme de pointer) vient de lui et s'adapte assez facilement. A condition de montrer au préalable que $\varphi(n) \varphi(m) = \varphi(n \wedge m) \varphi(n \vee m)$, ce que l'on peut faire par un calcul direct.

$\bullet$ Il y avait aussi la question que je me suis posée : peut-on fournir une preuve de l'égalité $\varphi(n) \varphi(m) = \varphi(n \wedge m) \varphi(n \vee m)$ de manière structurelle ? La réponse est oui mais cela ne se voit pas dans la note de K. Conrad in [kconrad.math.uconn.edu], theorem 3.4 dans lequel il y à la fois utilisation de Galois et un calcul direct de $\varphi(n) \varphi(m) = \varphi(n \wedge m) \varphi(n \vee m)$

$\bullet$ Et enfin et surtout. Si je fais ce post, c'est à cause de ``l'enfant''. L'enfant que nous sommes tous vis-à-vis d'une théorie inconnue. Doit-on dire à l'enfant : $\Q(\zeta_n) \cap \Q(\zeta_m) = \Q(\zeta_{n \wedge m})$, tu ne peux pas comprendre si tu n'as pas fait de la théorie de Galois.
Si on peut s'en passer (de la théorie de Galois), ne doit pas le dire, le signaler ? Dans le but de parler à plus de monde possible. Je rêve ?

$\bullet$ D'ailleurs, pour illustrer ce que je raconte (le coup de l'enfant), j'ai un exemple qui me semble pertinent et qui est lié à la théorie du corps de classes, en liaison avec cette histoire d'intersection cyclotomique. Plus si ...

Il est un peu plus de midi et je n'ai pas bu.


Re: Intersection de sous-corps
il y a deux mois
Salut Claude,

Kronecker-Weber réduit de nos jours à une simple application de la théorie du corps de classes ?
Re: Intersection de sous-corps
il y a deux mois
Non, quelque chose de beaucoup-beaucoup-beaucoup-..... plus simple : l'histoire du conducteur cyclotomique $f_K$ d'une sous-extension cyclotomique $K/\Q$, qui gouverne la ramification de $K/\Q$.

PS : probablement que Maxtimax a loupé le message. Initialement, l'idée (galoisienne) venait de lui tandis que moi j'étais contre à cause des enfants (on est toujours enfant vis-à-vis de quelque chose dans ce métier, bien sûr c'est égoïste car c'est à moi que je pense).
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